Wurzelrechner und Wurzelausdrücke

Was berechnet der Wurzelrechner?

Drei Reiter berechnen Quadratwurzeln, Kubikwurzeln und Wurzeln mit beliebigem Index, vereinfachen Wurzelausdrücke exakt und machen Nenner durch Erweitern mit dem konjugierten Ausdruck rational. Die Wurzel erscheint in einfachster exakter Form und als Dezimalwert. Rechenschritte zeigen Vereinfachung, Zusammenfassen, Multiplikation und Division.

Wurzeln vereinfachen

Der Radikand wird in Primfaktoren zerlegt. Bei Quadratwurzeln treten Faktoren mit Exponent 2 heraus, bei Kubikwurzeln solche mit Exponent 3. Beispiel: 72 = 2³ · 3² = 36 · 2, daher √72 = √36 · √2 = 6√2. Für 54 = 27 · 2 gilt ∛54 = 3∛2. Bei Brüchen wird der Nenner wurzelfrei: √(1/2) = √2/2.

Rechnen mit Wurzeln

Nur Wurzeln mit gleichem Radikanden lassen sich addieren oder subtrahieren. Bei 3√8 + √50 − √2 gilt √8 = 2√2 und √50 = 5√2. Daher folgt 6√2 + 5√2 − √2 = 10√2. √2 + √3 lässt sich nicht weiter vereinfachen.

Multiplikation: √a · √b = √(a·b), etwa √12 · √3 = √36 = 6.

Quadrieren: (2 + √3)² = 4 + 4√3 + 3 = 7 + 4√3.

Schreiben Sie √ oder sqrt(8), einen Koeffizienten davor wie bei 3√8.

Nenner rational machen

Bei einer einzelnen Wurzel im Nenner erweitern Sie mit derselben Wurzel: 1/√2 = √2/2. Bei zwei Termen verwenden Sie den konjugierten Ausdruck. Wegen (a + b)(a − b) = a² − b² verschwinden die Wurzeln. Erweitern von 6/(√5 − 2) mit (√5 + 2) ergibt den Nenner 5 − 4 = 1 und den Zähler 6√5 + 12.

Grenzen

Gerade Wurzeln negativer Zahlen sind nicht reell und werden nicht berechnet. Zur Vereinfachung darf der Radikand nach Beseitigung eines Bruchnenners höchstens 10¹⁵ betragen. Für größere darstellbare Werte liefert der Wurzelreiter nur Dezimalzahlen. Die anderen Reiter lehnen größere Radikanden ab. Sie unterstützen nur Quadratwurzeln, keine Kubikwurzeln, verschachtelten Wurzeln wie √(2 + √3), Buchstaben oder π. Dezimalwerte werden auf 12 signifikante Stellen gerundet, die Wurzelform bleibt exakt.

Häufige Fragen

Was ist die Quadratwurzel aus 2?

Die Quadratwurzel aus 2 ist exakt √2 und dezimal ungefähr 1,414. Der Radikand wird in Primfaktoren zerlegt. Faktoren mit geraden Exponenten treten aus der Wurzel heraus, der übrige Faktor bleibt darunter. Gewählt wird die positive Quadratwurzel. Die Dezimaldarstellung ist gerundet.

Mit diesen Werten berechnen