Algebraische Ausdrücke vereinfachen

Summen von Brüchen mit mehreren Variablen werden nicht allgemein zu einem Bruch zusammengefasst. Nicht alle ausgeschlossenen Werte solcher Ausdrücke werden aufgelistet.

Was macht der Rechner?

Er vereinfacht den eingegebenen algebraischen Ausdruck und zeigt die Schritte. Bei Polynomen löst er Klammern auf, multipliziert aus und fasst gleichartige Terme zusammen. Bei Variablen im Nenner bildet er einen gemeinsamen Bruch, faktorisiert Zähler und Nenner und kürzt gemeinsame Faktoren. Sie können Variablenwerte vorgeben und den Ausdruck auswerten.

Verwendete Regeln

Distributivgesetz: a(b + c) = ab + ac. Beim Multiplizieren zweier Klammern wird jeder Term der ersten mit jedem Term der zweiten multipliziert.

Gleichartige Terme haben dieselben Variablen und Exponenten. Ihre Koeffizienten werden addiert. 3x und 5x lassen sich zusammenfassen, 3x und 5x² nicht.

Bei gebrochenrationalen Ausdrücken werden Zähler und Nenner faktorisiert und gemeinsame Faktoren gekürzt. Gekürzt werden Faktoren, keine Summanden.

Beispiel

Geben Sie (x+2)(x-3) + 2x(x-1) ein. Ausmultiplizieren ergibt x² − 3x + 2x − 6 + 2x² − 2x. Die Terme mit x² ergeben 3x², die linearen −3x. Das Ergebnis ist 3x² − 3x − 6. Bei (x^2 - 5x + 6)/(x^2 - 4) ist der Zähler (x − 2)(x − 3), der Nenner (x − 2)(x + 2). Kürzen von (x − 2) ergibt (x − 3)/(x + 2).

Ausgeschlossene Werte

Wo ein gekürzter Faktor null wird, bleibt der ursprüngliche Ausdruck undefiniert. (x² − 1)/(x − 1) wird zu x + 1, doch bei x = 1 ist der ursprüngliche Nenner null. Diese Werte werden unter dem Ergebnis aufgeführt. Außerhalb dieser Stellen stimmt die vereinfachte Form mit dem Ausgangsausdruck überein.

Auswertung

Geben Sie etwa x = 2, y = -1 im Wertefeld ein. Eingesetzt wird in den ursprünglichen Ausdruck. Bei ganzen Zahlen oder Brüchen erscheint der Wert exakt als Bruch mit zugehöriger Dezimalzahl.

Grenzen

Zwischenschritte werden für Polynome und gebrochenrationale Ausdrücke gezeigt. Brüche mit mehreren Variablen werden nur reduziert, wenn sich Zähler und Nenner etwa durch gemeinsame Faktoren, Quadratdifferenzen oder vollständige Quadrate faktorisieren lassen. Bei Wurzeln, Trigonometrie, Logarithmen oder π werden nur Grundregeln angewendet, etwa Zusammenfassen gleicher Basen und gleichartiger Terme. Zwischenschritte und trigonometrische Identitäten fehlen dann. Ergebnisse werden an vorgegebenen Stellen mit dem Ausgangsausdruck verglichen. Für geeignete Stellen bei Polynomen und gebrochenrationalen Ausdrücken wird exakt gerechnet. Ist keine Stelle prüfbar, erscheint eine Warnung.

Häufige Fragen

Wie vereinfacht man Ausdrücke mit Variablen?

2(x + 3) + 4x vereinfacht sich beispielsweise durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen zu 6x + 6. Ein Zahlenwert für die Variable ist nicht nötig. Diese Polynomidentität gilt für alle Werte. Bei variablen Nennern bleiben durch Kürzen ausgeschlossene Werte weiterhin im ursprünglichen Ausdruck zu prüfen.

Mit diesen Werten berechnen