Rechner zum Faktorisieren

Was macht der Rechner zum Faktorisieren?

Er schreibt ein Polynom als Produkt einfacherer Faktoren und nennt die verwendete Regel je Schritt. Zuerst wird ein gemeinsamer Faktor ausgeklammert. Danach folgen Differenz von Quadraten, vollständige Quadrate sowie Summe und Differenz von Kuben. Bei drei Termen sucht der Rechner zwei Zahlen mit passendem Produkt und passender Summe. Bei vier Termen wird gruppiert. Sonst prüft er mögliche rationale Nullstellen und dividiert gefundene Faktoren aus. Der zweite Reiter zerlegt ganze Zahlen durch wiederholte Division in Primfaktoren.

Verwendete Identitäten

Differenz von Quadraten: a² − b² = (a − b)(a + b)

Vollständige Quadrate: a² + 2ab + b² = (a + b)² und a² − 2ab + b² = (a − b)²

Summe von Kuben: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

Differenz von Kuben: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Drei Terme: Für x² + bx + c gilt (x + m)(x + n), wenn m und n das Produkt c und die Summe b haben.

Beispiel

Geben Sie x^2 - 5x + 6 ein. Die Zahlen mit Produkt 6 und Summe −5 sind −2 und −3. Es ergibt sich (x − 2)(x − 3). Durch Ausmultiplizieren folgt x² − 3x − 2x + 6 = x² − 5x + 6. Ist der Leitkoeffizient nicht 1, etwa bei 6x^2 - 7x - 3, bilden Sie 6 mal −3 und suchen zwei Zahlen mit Produkt −18 und Summe −7. Das sind −9 und 2. Aufspalten des mittleren Terms und Gruppieren ergibt (2x − 3)(3x + 1).

Mehrere Variablen

Gemeinsame Faktoren werden bei beliebig vielen Buchstaben ausgeklammert: 6x^2y + 9xy^2 wird zu 3xy(2x + 3y). Bei zwei Variablen und gleichem Grad aller Terme werden die Identitäten angewendet, etwa auf x^2 - y^2, a^3 + b^3 und x^2 + 5xy + 6y^2. Vier Terme werden durch Gruppieren geprüft: ax + ay + bx + by wird zu (a + b)(x + y). Jeder Buchstabe ist eine eigene Variable. Ausnahmen sind e als Eulersche Zahl und pi als π.

Ergebnis lesen

Faktoren werden mit ganzzahligen Koeffizienten geschrieben. Ein gebrochener oder negativer gemeinsamer Faktor steht davor. Ein als nicht weiter zerlegbar markierter Faktor lässt sich über den rationalen Zahlen nicht weiter aufspalten, etwa x² + 1 oder x² − 2. Bei Polynomen in einer Variablen erscheinen auch die reellen Nullstellen.

Grenzen

Das Werkzeug arbeitet über den rationalen Zahlen. Es zerlegt x² − 2 nicht in (x − √2)(x + √2), zeigt jedoch die Nullstellen an. Bei Grad vier oder höher ohne rationale Nullstelle sucht es begrenzt nach Faktoren mit ganzzahligen Koeffizienten. Kann die Suche nicht abgeschlossen werden, wird die Unentscheidbarkeit der weiteren Zerlegung ausdrücklich gemeldet. Bei mehreren Variablen werden nur die genannten Fälle unterstützt. Die Primfaktorzerlegung akzeptiert ganze Zahlen von 2 bis 10¹⁵.

Häufige Fragen

Wie faktorisiert man ein Polynom mit vier Termen?

Das Polynom x³ + x² − x − 1 lässt sich beispielsweise als (x − 1)(x + 1)² schreiben. Gruppieren Sie Terme, klammern Sie gemeinsame Faktoren aus und wenden Sie die Differenz von Quadraten an. Prüfen Sie das Ergebnis durch Ausmultiplizieren. Dieses Beispiel hat rationale Koeffizienten. Eine unvollständige Suche bei höherem Grad beweist keine Unzerlegbarkeit.

Mit diesen Werten berechnen