Winkel aus drei Punkten berechnen

Wie berechnet man einen Winkel aus drei Punkten?

Drei Punkte bestimmen einen Winkel. Der mittlere Punkt ist der Scheitelpunkt, die anderen beiden bestimmen die Schenkel. In diesem Rechner ist B der Scheitelpunkt und das Ergebnis der Winkel ABC.

Bilden Sie zunächst die Vektoren vom Scheitelpunkt zu den anderen Punkten: BA = A − B und BC = C − B. Verwenden Sie dann das Skalarprodukt: cos β = (BA · BC) / (|BA| × |BC|). Das Skalarprodukt ist die Summe der Produkte entsprechender Komponenten.

Beispiel

Für A(3, 0), B(0, 0) und C(3, 3) gilt BA = (3, 0) und BC = (3, 3). Das Skalarprodukt beträgt 3 × 3 + 0 × 3 = 9 und die Längen sind 3 und 4,243. Damit ist cos β = 9 / (3 × 4,243) = 0,7071 und β = 45 Grad.

Weitere Winkel und Dreiecksfläche

Dasselbe Verfahren an A und C ergibt die anderen beiden Winkel. Alle drei ergeben zusammen 180 Grad. Die Dreiecksfläche beträgt in der Ebene |x₁·y₂ − y₁·x₂| / 2 und im Raum die Hälfte des Betrags des Kreuzprodukts.

Winkel im Raum

Für räumliche Punkte bleibt die Formel gleich. Die Komponente z kommt im Skalarprodukt und in den Längen hinzu. So lässt sich der Winkel zwischen zwei Rohren, Stahlbauteilen oder Kabeln an einem Knoten bestimmen.

Anwendungen

Innenwinkel eines Polygonzugs, die Prüfung eines rechten Winkels aus Koordinaten, das Ablesen eines Bogenwinkels aus einer Zeichnung und Gelenkwinkel eines Roboterarms beruhen auf dieser Rechnung.

Grenzen

Das Ergebnis liegt zwischen 0 und 180 Grad. Fällt der Scheitelpunkt mit einem anderen Punkt zusammen, ist der Winkel nicht definiert. Bei sehr kurzen Schenkeln verändert ein kleiner Messfehler der Koordinaten den Winkel deutlich.