Vektorprojektion berechnen mit paralleler und senkrechter Komponente
Skalare und vektorielle Projektion eines Vektors auf einen anderen, paralleler und senkrechter Anteil sowie Abstand und Lotfußpunkt eines Punkts zu einer Geraden in 2D und 3D.
Was ist eine Projektion?
Die Projektion eines Vektors auf einen anderen ist sein Schatten in dieser Richtung. Fällt Licht senkrecht auf b, ist der Schatten von a auf b die Projektion. Dabei wird a in einen parallelen Anteil entlang b und einen senkrechten Anteil dazu zerlegt.
Skalare und vektorielle Projektion
Die skalare Projektion ist eine Zahl, die vorzeichenbehaftete Schattenlänge: (a · b) / |b|. Die vektorielle Projektion trägt diese Länge in Richtung b: ((a · b) / |b|²) × b. Der senkrechte Anteil ist a minus Projektionsvektor.
Beispiel
Für a = (1, 2) und b = (3, 4) beträgt das Skalarprodukt 1 × 3 + 2 × 4 = 11 und die Länge von b ist 5. Die skalare Projektion ist 11 / 5 = 2,2. Der Projektionsvektor ist (11 / 25) × (3, 4) = (1,32, 1,76) und der senkrechte Anteil ist (1, 2) − (1,32, 1,76) = (−0,32, 0,24).
Abstand eines Punkts zu einer Geraden und Lotfußpunkt
Der Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt des vom Punkt gefällten Lots mit der Geraden. Bestimmen Sie für die Gerade durch A und B zunächst t = (AP · AB) / |AB|². Dann ist der Lotfußpunkt F = A + t × AB. Der Abstand des Punkts zur Geraden ist der Abstand von P zu F.
Beispiel: Der Punkt P(1, 1) hat von der Geraden durch A(4, 0) und B(0, 3) einen Abstand von 1 Einheit. Der Lotfußpunkt ist (1,6, 1,8).
Anwendungen
Kraftkomponenten entlang und senkrecht zu einer geneigten Ebene, der Versatz eines Punkts zu einer Rasterlinie, der nächste Punkt eines Rohrs oder Trägers zu einem anderen Bauteil und die Windkomponente in Fahrtrichtung werden durch Projektion bestimmt.
Grenzen
Der Vektor der Projektionsrichtung darf kein Nullvektor sein. Die beiden Punkte der Geraden müssen verschieden sein. Der Lotfußpunkt kann außerhalb der Strecke liegen. Der Rechner weist dies gesondert aus.
Häufige Fragen
Wie berechnet man die Projektion eines Vektors auf einen anderen?
Wird beispielsweise a = (3, 4) auf b = (4, 3) projiziert, beträgt die skalare Projektion 4,8 und die vektorielle Projektion (3,84, 2,88). Das Skalarprodukt wird mit der Länge des Richtungsvektors skaliert. Diese darf nicht null sein. Die skalare Projektion ist eine vorzeichenbehaftete Komponente und keine stets positive Länge.
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