Schnittpunkt zweier Geraden berechnen

Wie berechnet man den Schnittpunkt zweier Geraden?

Der Schnittpunkt liegt auf beiden Geraden und erfüllt deshalb beide Gleichungen. Zu lösen sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Für y = m₁x + n₁ und y = m₂x + n₂ setzen Sie die rechten Seiten gleich: x = (n₂ − n₁) / (m₁ − m₂). Setzen Sie x in eine der Gleichungen ein, um y zu erhalten.

Beispiel

Für y = 2x + 1 und y = −x + 4 ergibt 2x + 1 = −x + 4 zunächst 3x = 3 und damit x = 1. Dann ist y = 2 × 1 + 1 = 3. Die Geraden schneiden sich in (1, 3).

Lösung in allgemeiner Form

Für a₁x + b₁y + c₁ = 0 und a₂x + b₂y + c₂ = 0 berechnen Sie zuerst die Determinante D = a₁b₂ − a₂b₁. Dann gilt x = (b₁c₂ − b₂c₁) / D und y = (a₂c₁ − a₁c₂) / D. Dieses Verfahren funktioniert auch bei senkrechten Geraden.

Parallele und identische Geraden

Bei einer Determinante von null haben die Geraden dieselbe Steigung. Entweder sind sie parallel und schneiden sich nie oder sie sind identisch und haben jeden Punkt gemeinsam. Bei parallelen Geraden gibt der Rechner auch ihren senkrechten Abstand an.

Winkel zwischen den Geraden

Aus den Steigungen folgt tan φ = |(m₁ − m₂) / (1 + m₁m₂)|. Die Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen −1 ist.

Schneiden sich die Strecken tatsächlich?

Bei der Eingabe durch jeweils zwei Punkte zeigt der Rechner auch, ob der Schnittpunkt zwischen diesen Punkten oder auf einer Verlängerung liegt. Damit prüfen Sie, ob sich zwei Rasterlinien, Rohrleitungen oder Träger im Grundriss tatsächlich schneiden.

Grenzen

Der Rechner behandelt Geraden in einer Ebene. Bei nahezu parallelen Geraden liegt der Schnittpunkt weit entfernt und kleine Eingabefehler verändern das Ergebnis stark.