Calculadora de ángulo entre tres puntos

¿Cómo se calcula un ángulo a partir de tres puntos?

Tres puntos definen un ángulo: el punto central es el vértice y los otros dos determinan sus lados. En esta calculadora, el vértice es B y el resultado es el ángulo ABC.

Primero escribe los vectores que van del vértice a los otros puntos: BA = A − B y BC = C − B. Después usa el producto escalar: cos β = (BA · BC) / (|BA| × |BC|). El producto escalar es la suma de los productos de las componentes correspondientes.

Ejemplo

Para A(3, 0), B(0, 0) y C(3, 3), BA = (3, 0) y BC = (3, 3). El producto escalar es 3 × 3 + 0 × 3 = 9 y las longitudes son 3 y 4,243. Por tanto, cos β = 9 / (3 × 4,243) = 0,7071 y β = 45 grados.

Otros ángulos y área del triángulo

El mismo procedimiento en los vértices A y C da los otros dos ángulos, cuya suma con el primero es 180 grados. El área del triángulo es |x₁·y₂ − y₁·x₂| / 2 en el plano y la mitad del módulo del producto vectorial en el espacio.

Ángulos en el espacio

Para puntos en tres dimensiones se conserva la fórmula, añadiendo la componente z al producto escalar y a las longitudes. Así se calcula el ángulo entre dos tuberías, dos elementos de acero o dos cables que se unen en un nudo.

Aplicaciones

Los ángulos en estaciones de una poligonal, la comprobación de una esquina recta por coordenadas, la lectura del ángulo de un codo o curva en un plano y los ángulos de las articulaciones de un brazo robótico se basan en este cálculo.

Límites

El resultado está entre 0 y 180 grados. El ángulo no está definido si el vértice coincide con otro punto. Con lados muy cortos, un pequeño error de medición en las coordenadas modifica apreciablemente el ángulo.