Abstand zwischen zwei Punkten berechnen

Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte?

Der Abstand zweier Punkte mit bekannten Koordinaten folgt aus dem Satz des Pythagoras. Die Differenzen in x und y bilden die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Der gesuchte Abstand ist die Hypotenuse: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).

Da die Differenzen quadriert werden, spielt die Reihenfolge der Punkte keine Rolle. Auch negative Koordinaten sind zulässig.

Abstand im Raum mit drei Dimensionen

Die dritte Achse fügt einen weiteren Term hinzu: d = √(Δx² + Δy² + Δz²). Ist z die Höhe, ergibt die Wurzel aus den ersten beiden Termen den Horizontalabstand. Die Wurzel aus allen drei Termen ergibt den Schrägabstand.

Beispiel

Für A(1, 2) und B(4, 6) gilt Δx = 3 und Δy = 4. Der Abstand beträgt √(9 + 16) = √25 = 5 Einheiten. Der Mittelpunkt ist ((1 + 4) / 2, (2 + 6) / 2) = (2,5, 4) und die Steigung der Geraden beträgt 4 / 3 = 1,333.

Im Raum unterscheiden sich A(1, 2, 3) und B(4, 6, 15) um 3, 4 und 12. Der Abstand beträgt daher √(9 + 16 + 144) = 13 Einheiten.

Mittelpunkt, Steigung und Richtungswinkel

Der Mittelpunkt ist der Mittelwert der Koordinaten. Die Steigung ist die Differenz in y geteilt durch die Differenz in x. Ist die Differenz in x null, ist die Gerade senkrecht und ihre Steigung nicht definiert. Der Richtungswinkel wird ab der positiven Achse x in Richtung vom ersten zum zweiten Punkt gemessen.

Anwendung auf der Baustelle

Die Diagonale zwischen zwei Rasterpunkten einer Absteckskizze, der Abstand zweier Ankerbohrungen oder die gerade Achslänge eines Rohrs aus den Koordinaten seiner Enden ergeben sich aus dieser Rechnung. Die Koordinaten müssen dieselbe Einheit und denselben Ursprung haben.

Grenzen

Der Rechner gilt für Punkte in einem ebenen Koordinatensystem. Der Abstand zweier Orte mit geografischer Breite und Länge lässt sich mit dieser Formel nicht bestimmen.

Häufige Fragen

Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte in drei Dimensionen?

In diesem Beispiel beträgt der räumliche Abstand zwischen (0, 0, 0) und (3, 4, 12) genau 13 Einheiten. Ziehen Sie die Wurzel aus der Summe der quadrierten Koordinatendifferenzen. Verwenden Sie einheitliche Längeneinheiten und kartesische Achsen. Wenden Sie die Rechnung nicht direkt auf geografische Breiten und Längen an.

Mit diesen Werten berechnen