Calculadora de ângulo por três pontos

Como encontrar um ângulo a partir de três pontos?

Três pontos definem um ângulo: o ponto central é o vértice e os outros dois indicam os lados. Nesta calculadora, o vértice é o ponto B e o resultado é o ângulo ABC.

Primeiro, escreva os vetores do vértice até os outros dois pontos: BA = A − B e BC = C − B. Depois, use o produto escalar: cos β = (BA · BC) / (|BA| × |BC|). O produto escalar é a soma dos produtos das componentes correspondentes.

Exemplo

Para A(3, 0), B(0, 0) e C(3, 3), BA = (3, 0) e BC = (3, 3). O produto escalar é 3 × 3 + 0 × 3 = 9 e os comprimentos são 3 e 4,243. Logo, cos β = 9 / (3 × 4,243) = 0,7071 e β = 45 graus.

Outros ângulos e área do triângulo

As mesmas etapas nos vértices A e C fornecem os outros dois ângulos, e a soma dos três é 180 graus. A área do triângulo é |x₁·y₂ − y₁·x₂| / 2 no plano e metade do módulo do produto vetorial no espaço.

Ângulos no espaço

Com pontos tridimensionais, a fórmula permanece a mesma, acrescentando a componente z ao produto escalar e aos comprimentos. O ângulo entre duas tubulações, dois elementos de aço ou dois cabos que se encontram em um nó é obtido dessa forma.

Onde é usado?

Ângulos internos nas estações de uma poligonal, verificação por coordenadas de um canto reto, leitura do ângulo de um cotovelo ou curva em um desenho e ângulos das articulações de um braço robótico usam este cálculo.

Limites

O resultado fica entre 0 e 180 graus. O ângulo é indefinido quando o vértice coincide com um dos outros pontos. Com lados muito curtos, um pequeno erro de medição nas coordenadas altera o ângulo de forma perceptível.