Abstand und Vektor in 3D berechnen

Abstand zwischen zwei Punkten im Raum

In drei Dimensionen ist der Abstand zweier Punkte die Wurzel aus der Summe der quadrierten Koordinatendifferenzen: d = √(Δx² + Δy² + Δz²). Der Satz des Pythagoras wird dabei zweimal angewendet.

Beispiel: Für A(1, 2, 3) und B(4, 6, 15) sind die Differenzen 3, 4 und 12. Der Abstand beträgt √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 Einheiten.

Vektor aus zwei Punkten

Die Komponenten des Vektors von A nach B sind die Koordinatendifferenzen: AB = (x₂ − x₁, y₂ − y₁, z₂ − z₁). Sein Betrag entspricht dem Abstand der beiden Punkte.

Einheitsvektor

Ein Einheitsvektor zeigt in dieselbe Richtung und hat die Länge 1. Dividieren Sie jede Komponente durch den Betrag: u = v / |v|. Im Beispiel ist der Einheitsvektor (3/13, 4/13, 12/13) = (0,2308, 0,3077, 0,9231).

Richtungskosinusse und Richtungswinkel

Die Komponenten des Einheitsvektors sind zugleich die Kosinuswerte der Winkel zu den Achsen x, y und z. Im Beispiel betragen die Winkel 76,66, 72,08 und 22,62 Grad. Die Quadrate der Richtungskosinusse ergeben zusammen immer 1. Dies dient als einfache Rechenkontrolle.

Anwendungen

Stablängen und Kraftkomponenten in Raumfachwerken und Abspannseilen, die wahre Länge zwischen zwei Punkten einer Rohrleitung oder Kabeltrasse, der Abstand zweier Knoten eines Modells in 3D und die Neigung einer Richtung zur Horizontalen folgen aus diesen Rechnungen. In der Statik wird eine Kraft als Betrag mal Einheitsvektor dargestellt.

Grenzen

Alle Koordinaten müssen dieselbe Einheit und dasselbe Achsensystem verwenden. Der Nullvektor aus zwei identischen Punkten hat keine Richtung. Skalarprodukte und Kreuzprodukte werden hier nicht behandelt.