Trigonometrie berechnen: Sinus, Kosinus, Tangens und Umkehrfunktionen

Trigonometrische Funktionen

Auf einem Kreis mit Radius 1 hat der Punkt beim Winkel θ zur waagerechten Achse die waagerechte Koordinate cos θ und die senkrechte Koordinate sin θ. Daraus folgen die vier weiteren Funktionen:

• tan θ = sin θ / cos θ
• cot θ = cos θ / sin θ
• sec θ = 1 / cos θ
• csc θ = 1 / sin θ

Im rechtwinkligen Dreieck lauten dieselben Definitionen: sin θ = Gegenkathete / Hypotenuse, cos θ = Ankathete / Hypotenuse, tan θ = Gegenkathete / Ankathete.

Grad, Radiant und Gon

Eine volle Umdrehung entspricht 360 Grad, 2π Radiant oder 400 Gon. Es gilt 180° = π rad = 200 grad. Beispielsweise ist 30° = π / 6 = 0,5236 rad = 33,33 grad. Ein falsch gewählter Winkelmodus ist ein häufiger Fehler in der Trigonometrie.

Beispiel

Für θ = 30° ergeben sich sin θ = 0,5, cos θ = 0,866, tan θ = 0,5774, cot θ = 1,732, sec θ = 1,155 und csc θ = 2.

Umkehrfunktionen

Arcsin, arccos und arctan liefern einen Winkel zu einem gegebenen Funktionswert. Ein Taschenrechner beantwortet sin θ = 0,5 mit 30°, obwohl 150° denselben Sinus hat. Dieser Rechner zeigt den Hauptwert und alle Lösungen innerhalb einer Umdrehung an.

Grenzen

Tan und sec sind bei 90° und 270° nicht definiert, cot und csc bei 0° und 180°. Sinus und Kosinus liegen zwischen minus 1 und 1. Außerhalb dieses Bereichs können arcsin und arccos nicht ausgewertet werden.

Häufige Fragen

Wie berechnet man trigonometrische Werte?

Für einen Winkel von 30° beträgt beispielsweise der Sinus 0,5, der Kosinus 0,866 und der Tangens 0,5774. Auf dem Einheitskreis ist der Sinus die senkrechte Koordinate, der Kosinus die waagerechte Koordinate und der Tangens ihr Verhältnis. Hier wird Grad verwendet, da dieselbe Zahl in Radiant einen anderen Winkel darstellt.

Mit diesen Werten berechnen