Dreieck berechnen mit Seiten, Winkeln und Zeichnung

Wie löst man ein Dreieck?

Ein Dreieck hat drei Seiten und drei Winkel. Sind drei dieser Größen bekannt und ist mindestens eine davon eine Seite, können die übrigen drei berechnet werden. Der passende Satz hängt von den bekannten Größen ab.

• Drei Seiten (SSS): Die Winkel folgen aus dem Kosinussatz.
• Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SAS): Die dritte Seite folgt aus dem Kosinussatz.
• Zwei Winkel und eine Seite (ASA, AAS): Der dritte Winkel ergänzt die Summe auf 180 Grad. Die Seiten folgen aus dem Sinussatz.
• Zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel (SSA): Der Sinussatz wird angewendet. Zwei verschiedene Dreiecke sind möglich.

Formeln

Kosinussatz: a² = b² + c² − 2 × b × c × cos A. Sinussatz: a / sin A = b / sin B = c / sin C. Fläche: b × c × sin A / 2. Bei drei bekannten Seiten liefert auch die Formel von Heron die Fläche.

Beispiel

Für die Seiten 3, 4 und 5 gilt cos C = (9 + 16 − 25) / 24 = 0 und damit C = 90 Grad. Die anderen Winkel betragen 36,87 und 53,13 Grad. Die Fläche ist 6.

Mehrdeutiger Fall

Für a = 6, b = 10 und A = 30 Grad gilt sin B = 10 × 0,5 / 6 = 0,833. Sowohl 56,44 als auch 123,56 Grad haben diesen Sinuswert und ergeben gültige Dreiecke. Die dritte Seite beträgt im einen Fall 11,98, im anderen 5,34. Der Rechner zeichnet beide. Ist a kürzer als b × sin A, existiert kein Dreieck. Ist a länger als b, existiert genau eines.

Grenzen

Die Summe zweier Seiten muss größer als die dritte sein. Die Summe zweier Winkel muss kleiner als 180 Grad sein. Der Rechner gilt für ebene Dreiecke. Kugeldreiecke und große Entfernungen auf der Erdoberfläche werden nicht erfasst.

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Dreiecksfläche aus drei Seiten?

Beispielsweise ergibt die Formel von Heron für Seitenlängen von 13, 14 und 15 Einheiten eine Fläche von 84 Flächeneinheiten. Multiplizieren Sie den halben Umfang mit seinen Differenzen zu jeder Seite und ziehen Sie die Quadratwurzel. Verwenden Sie durchgehend dieselbe Längeneinheit. Die Formel gilt für ebene Dreiecke und liefert keine Kugeloberfläche.

Mit diesen Werten berechnen