Calculateur de projection, composantes parallèle et perpendiculaire
Projection scalaire et vectorielle, composantes parallèle et perpendiculaire, distance d’un point à une droite et pied de la perpendiculaire. En 2D et 3D.
Projection
La projection de a sur b est son ombre suivant b sous un éclairage perpendiculaire. Elle décompose a en partie parallèle et partie perpendiculaire à b.
Scalaire et vectorielle
La projection scalaire est (a · b) / |b|. La projection vectorielle est ((a · b) / |b|²) × b. La partie perpendiculaire est a moins le vecteur projeté.
Exemple
Pour a = (1, 2) et b = (3, 4), a · b = 1 × 3 + 2 × 4 = 11 et |b| = 5. La projection scalaire vaut 11 / 5 = 2,2. Le vecteur projeté est (11 / 25) × (3, 4) = (1,32, 1,76), et la partie perpendiculaire (1, 2) − (1,32, 1,76) = (−0,32, 0,24).
Point et droite
Le pied est l’intersection de la perpendiculaire et de la droite. Pour la droite AB, t = (AP · AB) / |AB|², puis F = A + t × AB. La distance recherchée est PF.
P(1, 1) est à 1 unité de la droite par A(4, 0) et B(0, 3), avec pied (1,6, 1,8).
Applications
Composantes d’une force sur plan incliné, déport d’un point à une trame, point le plus proche d’une conduite ou poutre et composante du vent suivant le déplacement.
Limites
b doit être non nul et les points de la droite distincts. Un pied hors segment est signalé.
Questions fréquentes
Comment calculer la projection d’un vecteur sur un autre ?
Pour a = (3, 4) sur b = (4, 3), la projection scalaire vaut 4,8 et la vectorielle (3,84, 2,88). Le produit scalaire est rapporté à la longueur du vecteur directeur non nul. La projection scalaire est une composante algébrique, pas une longueur toujours positive.
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