Calculadora de projeção: componentes paralela e perpendicular

O que é uma projeção?

A projeção de um vetor sobre outro é sua sombra naquela direção. Com luz incidindo perpendicularmente a b, a sombra de a sobre b é a projeção. Isso decompõe a em duas partes: uma componente paralela na direção de b e uma componente perpendicular a ela.

Projeção escalar e vetorial

A projeção escalar é um número, o comprimento com sinal da sombra: (a · b) / |b|. A projeção vetorial orienta esse comprimento na direção de b: ((a · b) / |b|²) × b. A componente perpendicular é a menos o vetor projeção.

Exemplo

Para a = (1, 2) e b = (3, 4), o produto escalar é 1 × 3 + 2 × 4 = 11 e o módulo de b é 5. A projeção escalar é 11 / 5 = 2,2. O vetor projeção é (11 / 25) × (3, 4) = (1,32, 1,76) e a componente perpendicular é (1, 2) − (1,32, 1,76) = (−0,32, 0,24).

Distância de um ponto a uma reta e pé da perpendicular

O pé da perpendicular é o encontro da reta com a perpendicular traçada a partir do ponto. Para uma reta que passa por A e B, encontre primeiro t = (AP · AB) / |AB|². O pé é F = A + t × AB. A distância do ponto à reta é a distância de P a F.

Exemplo: o ponto P(1, 1) está a 1 unidade da reta que passa por A(4, 0) e B(0, 3), e o pé é (1,6, 1,8).

Onde é usada?

As componentes de uma força paralela e normal a um plano inclinado, o afastamento de um ponto de uma linha de eixo, o ponto de uma tubulação ou viga mais próximo de outro elemento e a componente do vento na direção do movimento são encontrados por projeção.

Limites

O vetor sobre o qual você projeta não pode ser nulo. Os dois pontos que definem a reta devem ser diferentes. O pé pode ficar fora do segmento, o que a calculadora informa separadamente.

Perguntas frequentes

Como calcular a projeção de um vetor sobre outro?

Por exemplo, ao projetar a = (3, 4) sobre b = (4, 3), a projeção escalar é 4,8 e a projeção vetorial é (3,84, 2,88). O produto escalar é ajustado pelo módulo do vetor de direção, que deve ser diferente de zero. A projeção escalar é uma componente com sinal, e não um comprimento sempre positivo.

Calcular com estes valores