Calculadora de proyección: componentes paralela y perpendicular
Calcula la proyección escalar y vectorial, las componentes paralela y perpendicular y la distancia de un punto a una recta con el pie de la perpendicular. En 2D y 3D.
¿Qué es una proyección?
La proyección de un vector sobre otro es su sombra en esa dirección. Si la luz incide perpendicularmente a b, la sombra de a sobre b es su proyección. Así, a se descompone en una componente paralela a b y otra componente perpendicular.
Proyección escalar y vectorial
La proyección escalar es un número que representa la longitud de la sombra: (a · b) / |b|. La proyección vectorial expresa esa longitud en la dirección de b: ((a · b) / |b|²) × b. La componente perpendicular es a menos el vector proyección.
Ejemplo
Para a = (1, 2) y b = (3, 4), el producto escalar es 1 × 3 + 2 × 4 = 11 y la longitud de b es 5. La proyección escalar es 11 / 5 = 2,2. El vector proyección es (11 / 25) × (3, 4) = (1,32, 1,76) y la componente perpendicular es (1, 2) − (1,32, 1,76) = (−0,32, 0,24).
Distancia de un punto a una recta y pie de la perpendicular
El pie de la perpendicular es el punto donde la perpendicular trazada desde el punto corta la recta. Para una recta que pasa por A y B, calcula primero t = (AP · AB) / |AB|². Después, el pie es F = A + t × AB. La distancia del punto a la recta es la distancia entre P y F.
Por ejemplo, el punto P(1, 1) está a 1 unidad de la recta que pasa por A(4, 0) y B(0, 3), y el pie es (1,6, 1,8).
Aplicaciones
La proyección permite calcular las componentes de una fuerza paralela y normal a un plano inclinado, la separación de un punto respecto a un eje de replanteo, el punto de una tubería o viga más cercano a otro elemento y la componente del viento en la dirección de avance.
Límites
El vector sobre el que se proyecta no puede ser nulo. Los dos puntos que definen la recta deben ser distintos. El pie puede caer fuera del segmento y la calculadora lo indica por separado.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula la proyección de un vector sobre otro?
Por ejemplo, al proyectar a = (3, 4) sobre b = (4, 3), la proyección escalar es 4,8 y la vectorial es (3,84, 2,88). El producto escalar se divide según la longitud del vector de dirección, que debe ser distinta de cero. La proyección escalar es una componente con signo y no una longitud siempre positiva.
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