Ungleichungslöser

Was macht der Ungleichungslöser?

Er bestimmt die Lösungsmenge einer Ungleichung mit einer Unbekannten. Bei linearen Ungleichungen isoliert er die Unbekannte und zeigt, warum Division durch eine negative Zahl das Zeichen umkehrt. Bei quadratischen, polynomialen und gebrochenrationalen Ungleichungen bringt er alle Terme auf die linke Seite, faktorisiert den Ausdruck und erstellt aus den kritischen Stellen eine Vorzeichentabelle. Das Ergebnis erscheint als Intervall, Ungleichung und auf einer Zahlengeraden.

Verfahren mit Vorzeichentabelle

1. Bringen Sie alle Terme nach links in die Form f(x) < 0. Brüche werden zusammengefasst.
2. Faktorisieren Sie Zähler und Nenner.
3. Bestimmen Sie Nullstellen des Zählers und des Nenners. Erstere machen den Ausdruck null, letztere undefiniert. Dies sind die kritischen Stellen.
4. Sie teilen die Zahlengerade in Intervalle. Innerhalb eines Intervalls kann das Vorzeichen nicht wechseln. Ein Testwert genügt daher.
5. Wählen Sie Intervalle mit dem gesuchten Vorzeichen. Bei ≤ oder ≥ werden Nullstellen eingeschlossen. Nullstellen des Nenners bleiben immer ausgeschlossen.

Beispiel

Geben Sie x^2 - 5x + 6 < 0 ein. Links steht (x − 2)(x − 3). Die kritischen Stellen sind 2 und 3. Bei x = 0 ist der Wert 6 und positiv, bei x = 2,5 ist er −0,25 und negativ, bei x = 4 ist er 2 und positiv. Gesucht ist das negative Intervall. Die Lösung lautet 2 < x < 3 oder (2, 3).

Ketten und Systeme

Eine doppelte Ungleichung wie -3 < 2x + 1 <= 7 ist in einer Zeile zulässig. Das Werkzeug löst beide Teile und bildet die Schnittmenge. Im Systemreiter stehen zwei Ungleichungen in getrennten Zeilen. „Und“ liefert Werte, die beide erfüllen, also die Schnittmenge. „Oder“ liefert Werte, die mindestens eine erfüllen, also die Vereinigungsmenge.

Schreibweise

Runde Klammern schließen einen Randwert aus, eckige schließen ihn ein: (2, 3] bedeutet 2 < x ≤ 3. ∪ steht für Vereinigung, ∅ für die leere Menge und {2} für den einzelnen Wert 2. Auf der Zahlengeraden sind ausgefüllte Punkte eingeschlossen, offene ausgeschlossen. Die Zeichnung ist schematisch mit gleichmäßigen Abständen, nicht maßstäblich.

Grenzen

Nur polynomiale und gebrochenrationale Ungleichungen werden gelöst. Wurzeln, Beträge, trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktionen und Logarithmen sind nicht enthalten. Koeffizienten müssen ganzzahlig, gebrochen oder dezimal sein. Rationale Nullstellen sind exakt. Nullstellen quadratischer Faktoren erscheinen als Wurzelausdrücke. Irrationale Nullstellen höherer Grade werden dezimal angenähert. Dann wird auf angenäherte Intervallgrenzen hingewiesen.