Gleichungslöser

Nach Abtrennung rationaler Nullstellen können die Lösungen eines verbleibenden quadratischen Faktors als exakte Wurzelausdrücke erscheinen. Für höhere Grade gibt es keine allgemeine Wurzelformel.

Was macht der Gleichungslöser?

Er liest eine Gleichung mit einer Unbekannten und bestimmt ihre Lösungen. Polynome werden nach Grad behandelt: Lineare Gleichungen werden umgestellt, quadratische mit Diskriminante und Lösungsformel berechnet, kubische mit der Diskriminante nach Cardano klassifiziert. Bis Grad 12 werden sämtliche reellen und komplexen Wurzeln numerisch gesucht. Bei anderen Gleichungen wie sin(x) = x/2 sucht der Rechner reelle Lösungen im angegebenen Intervall. Der zweite Reiter löst lineare Systeme mit 2, 3 oder 4 Unbekannten schrittweise durch Gaußsche Elimination.

Quadratische Lösungsformel

Für a·x² + b·x + c = 0 gilt Δ = b² − 4ac. Eine positive Diskriminante ergibt zwei verschiedene reelle Lösungen, null eine doppelte Lösung und ein negativer Wert zwei konjugiert komplexe Lösungen. Die Formel lautet x = (−b ± √Δ) / (2a).

Beispiel

Geben Sie x^2 - 5x + 6 = 0 ein. Mit a = 1, b = −5 und c = 6 ergibt sich Δ = 25 − 24 = 1. Die Lösungen sind (5 − 1)/2 = 2 und (5 + 1)/2 = 3. Einsetzen bestätigt: 4 − 10 + 6 = 0 und 9 − 15 + 6 = 0.

Exakte und angenäherte Ergebnisse

Bei ganzen, gebrochenen oder dezimalen Koeffizienten wird mit Brüchen gerechnet. Rationale Lösungen erscheinen exakt, etwa 3/2. Quadratische Wurzeln erscheinen als Ausdruck wie (1 + √5)/2 und daneben als Dezimalzahl. Mehrfache Wurzeln werden zunächst exakt getrennt, sodass ihre Vielfachheit erhalten bleibt. Bei irrationalen Koeffizienten wie π oder einer Quadratwurzel erscheinen nur Dezimalwerte.

Gleichungssysteme

Geben Sie die Koeffizienten in die Tabelle ein. Der Rechner reduziert die erweiterte Matrix durch Zeilenumformungen und zeigt jeden Schritt. Eindeutige Lösungen erscheinen als Brüche und Dezimalzahlen. Unendlich viele Lösungen oder Widersprüche werden gemeldet.

Grenzen

Bei anderen Gleichungen als Polynomen werden nur reelle Lösungen im vorgegebenen Intervall gesucht. Es wird in 4000 Abschnitte geteilt und bei Vorzeichenwechseln halbiert. Lösungen außerhalb oder sehr dicht beieinander können übersehen werden. Passen Sie das Intervall selbst an. Trigonometrische Funktionen verwenden Bogenmaß. Für höhere Grade gibt es keine allgemeine Wurzelformel. Ein verbleibender quadratischer Faktor kann exakte Wurzelausdrücke liefern. Ungleichungen und Gleichungen mit Parametern werden nicht unterstützt.