Résolution d’inéquations

Quel est le rôle de cet outil ?

Il lit une inéquation à une inconnue telle que vous la saisissez et trouve son ensemble de solutions. Au premier degré, il isole l’inconnue et explique pourquoi la division par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité. Pour les inéquations du second degré, polynomiales et rationnelles, il transfère les termes à gauche, factorise l’expression, trouve les points critiques et construit un tableau de signes. Le résultat est donné par intervalles, sous forme d’inégalité et sur une droite graduée.

Méthode du tableau de signes

1. Transférez tous les termes à gauche pour obtenir f(x) < 0. Les fractions sont réunies en une seule.
2. Factorisez le numérateur et le dénominateur.
3. Trouvez les valeurs qui annulent le numérateur et celles qui annulent le dénominateur, où l’expression n’est pas définie. Ce sont les points critiques.
4. Ces points divisent la droite en intervalles. Le signe ne peut pas changer à l’intérieur d’un intervalle, il suffit donc d’y tester une valeur.
5. Conservez les intervalles du signe recherché. Avec ≤ ou ≥, les zéros sont inclus. Les points qui annulent le dénominateur sont toujours exclus.

Exemple

Saisissez x^2 - 5x + 6 < 0. Le membre de gauche est (x − 2)(x − 3), les points critiques sont donc 2 et 3. Pour x = 0, la valeur est 6, positive. Pour x = 2,5, elle vaut −0,25, négative. Pour x = 4, elle vaut 2, positive. L’intervalle négatif est recherché, la solution est donc 2 < x < 3, soit (2, 3) en notation d’intervalle.

Inégalités doubles et systèmes

Une inégalité double telle que -3 < 2x + 1 <= 7 peut être saisie sur une ligne. L’outil résout les deux parties et en prend l’intersection. Dans l’onglet système, saisissez deux inéquations sur des lignes séparées. Avec « et », les valeurs doivent satisfaire les deux inéquations, ce qui donne l’intersection. Avec « ou », elles doivent en satisfaire au moins une, ce qui donne la réunion.

Notation

Une parenthèse indique une borne exclue, un crochet une borne incluse : (2, 3] représente 2 < x ≤ 3. ∪ indique une réunion, ∅ l’ensemble vide et {2} le seul nombre 2. Sur la droite, un point plein est inclus et un point creux est exclu. Le dessin est schématique : les points sont régulièrement espacés, sans respect de l’échelle.

Limites

Seules les inéquations polynomiales et rationnelles sont résolues. Les racines carrées, valeurs absolues, fonctions trigonométriques, exponentielles et logarithmiques ne sont pas prises en charge. Les coefficients doivent être entiers, fractionnaires ou décimaux. Les racines rationnelles sont exactes et celles des facteurs du second degré sont données avec radicaux. Les racines irrationnelles de facteurs de degré supérieur sont approchées par des décimaux. L’outil indique alors que les bornes sont approchées.