Beträge und abschnittsweise Funktionen berechnen

Die durch Bedingungen abgedeckte Menge schließt Singularitäten der Ausdrücke nicht aus. Stetigkeitsprüfungen vergleichen eingesetzte Randwerte benachbarter Ausdrücke. Grenzwerte an Singularitäten werden nicht berechnet.

Was berechnet das Werkzeug?

Es hat drei Bereiche. Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen werden gelöst und ihre Lösungsmenge auf dem Zahlenstrahl dargestellt. Der Wertebereich wertet einen Betragsausdruck bei gegebenem x mit Rechenweg aus und schreibt ihn abschnittsweise. Der dritte Bereich wertet Funktionen mit bis zu vier Abschnitten an einer Stelle aus.

Was ist ein Betrag?

Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von null auf dem Zahlenstrahl und daher nie negativ: |5| = 5 und |−5| = 5. Ist der Inhalt nicht negativ, bleibt er unverändert. Ist er negativ, wird sein Vorzeichen umgekehrt. Geben Sie Betragsstriche mit der Taste | oder als abs(x) ein.

Regeln für Gleichungen und Ungleichungen

Sei k positiv. |u| = k bedeutet u = k oder u = −k. |u| < k bedeutet −k < u < k. |u| > k bedeutet u < −k oder u > k.

Ist k negativ, haben |u| = k und |u| < k keine Lösung. |u| > k gilt für jede Zahl.

Beispiel

Geben Sie |2x - 3| = 5 ein. Der Inhalt kann 5 oder −5 sein. Aus 2x − 3 = 5 folgt x = 4, aus 2x − 3 = −5 folgt x = −1. Die Lösungsmenge ist {−1, 4}. Bei |x + 1| < 4 gilt −4 < x + 1 < 4. Subtraktion von 1 ergibt −5 < x < 3.

Mehrere Beträge

Bei |x - 1| + |x + 2| = 5 bestimmt das Werkzeug die kritischen Stellen, an denen ein Betragsinhalt null wird, hier −2 und 1. Sie teilen den Zahlenstrahl in Intervalle. Dort sind alle Vorzeichen bekannt und der Ausdruck wird zu einer linearen Gleichung. Eine Lösung bleibt nur erhalten, wenn sie im jeweiligen Intervall liegt. Gleichungen mit x rechts wie |x - 1| = 2x + 3 werden genauso gelöst.

Abschnittsweise Funktionen

Geben Sie je Abschnitt einen Ausdruck und eine Bedingung wie x < 0, 0 <= x < 2 oder x >= 2 ein. Der letzte Abschnitt darf die Bedingung „sonst“ haben. Das Werkzeug zeigt die erfüllte Bedingung und wertet den Abschnitt aus. Es zeigt auch die abgedeckte Menge und die von links und rechts eingesetzten Werte an gemeinsamen Grenzen. Stetigkeit verlangt gleiche Seitenwerte und denselben definierten Punktwert. Verschiedene Seitenwerte bedeuten einen Sprung. Gleiche Seitenwerte bei fehlendem oder anderem Punktwert bedeuten eine hebbare Unstetigkeit.

Grenzen

Gleichungen und Ungleichungen unterstützen nur Beträge linearer Ausdrücke. |x² − 1| = 3 und verschachtelte Beträge sind ausgeschlossen. Koeffizienten müssen ganze Zahlen, Brüche oder Dezimalzahlen sein. Bedingungen abschnittsweiser Funktionen verwenden eine Variable und Zahlengrenzen. Die Stetigkeitsprüfung vergleicht die Werte benachbarter Ausdrücke an der Grenze.