Trigonometrische Additionstheoreme berechnen

Additionstheoreme für Summe und Differenz

Sinus und Kosinus zweier Winkel bestimmen die Werte ihrer Summe und Differenz. Beim Sinus der Summe werden die gemischten Produkte addiert. Beim Kosinus der Summe wird das Produkt der Sinuswerte vom Produkt der Kosinuswerte abgezogen. Wird der zweite Winkel durch seinen negativen Wert ersetzt, ergeben sich die Differenzformeln.

Beispiel

30° und 60° ergeben zusammen 90° mit Sinus 1 und Kosinus 0. Ihre Differenz beträgt minus 30° mit Sinus minus 0,5. Die Eingabe von 45° für beide Winkel zeigt den Fall des doppelten Winkels.

Umfang

Dieser Rechner wendet vier übliche Identitäten an und zeigt die numerischen Einsetzungen. Er verarbeitet keine beliebigen symbolischen Ausdrücke und betrachtet eine Übereinstimmung an einer Stelle nicht als allgemeinen Beweis. Für jeden Winkel kann die Einheit gesondert gewählt werden.

Vorzeichen prüfen

Bei Sinus und Kosinus gelten unterschiedliche Vorzeichen. Der Sinus einer Summe addiert Kreuzprodukte, der Kosinus subtrahiert das Produkt der Sinuswerte. Bei einer Differenz wird der zweite Sinusterm abgezogen, während die Kosinusprodukte addiert werden. Prüfen Sie das Vorzeichen anhand des Quadranten des zusammengesetzten Winkels.

Geben Sie beispielsweise zweimal 30° ein. Am Einheitskreis gelten sin 30° = 0,5 und cos 30° = √3/2. Der Sinus der Summe ist 2 × 0,5 × √3/2 = √3/2 ≈ 0,866025. Der Kosinus ist 3/4 − 1/4 = 0,5. Der Differenzwinkel ist null, sein Sinus daher 0 und sein Kosinus 1. Das Beispiel zeigt Doppelwinkel und Nullwinkelprüfung.

Ein Vertauschen der Winkel verändert die Summenergebnisse nicht. Der Sinus der Differenz wechselt das Vorzeichen, ihr Kosinus bleibt gleich. Diese Eigenschaften helfen bei der Kontrolle. Die Ausgaben sind dimensionslose Verhältnisse, keine Längen oder Winkel.

Ein Winkel kann in Grad und der andere im Bogenmaß eingegeben werden. Prüfen Sie jeden Einheitenwähler. Nahe null können Rundungsabweichungen relativ groß erscheinen. Ein korrektes Zahlenbeispiel beweist die Identität nicht für alle Winkel. Der Rechner zeigt die numerische Anwendung, keinen symbolischen Beweis.