Differentialgleichung erster Ordnung numerisch lösen

Vom Anfangswert zur Lösung

Geben Sie eine Gleichung y′=f(x,y) und eine Anfangsbedingung y(x₀)=y₀ an. Der Rechner integriert mit einem Verfahren vierter Ordnung bis zum Zielpunkt. In jedem Schritt wird die Steigung am Anfang, zweimal in der Mitte und einmal am Ende ausgewertet.

Beispiel

Für y′=2x mit y(0)=1 ergibt die direkte Integration y=x²+1. Das Ergebnis bei x=2 ist 5. Bekannte analytische Lösungen eignen sich zur Kontrolle numerischer Berechnungen.

Schrittzahl wählen

Die Berechnung erfolgt mit der eingegebenen Schrittzahl und erneut mit der doppelten Schrittzahl. Das Hauptergebnis verwendet das feinere Gitter. Die angezeigte Differenz ist keine gesicherte Fehlerschranke. Steife Gleichungen und Singularitäten erfordern andere Verfahren. Systeme und Randwertprobleme liegen außerhalb des Umfangs dieses Rechners.

Gleichung und Schrittweite

Geben Sie nur die rechte Seite ein. Für y′=x lautet die Eingabe x. Die Anfangsbedingung ist der Wert von y am Startpunkt, nicht die Steigung. Ein Ziel vor dem Startpunkt ergibt eine negative Schrittweite und bedeutet Rückwärtsintegration. Halten Sie die Einheiten im Modell konsistent.

Lösen Sie beispielsweise y′=x mit y(0)=2 bis x=2. Integrieren ergibt y=x²/2+2, am Ziel also 4. Bei 2 groben Schritten beträgt die Schrittweite 1. Im ersten Schritt lauten die Steigungen 0, 0,5, 0,5 und 1. Der gewichtete Zuwachs ist (0+2×0,5+2×0,5+1)/6 = 0,5, somit y=2,5. Der zweite Schritt endet bei 4. Das Hauptergebnis verwendet 4 Schritte der Größe 0,5.

Die Übereinstimmung beider Gitter in diesem Beispiel garantiert nicht dieselbe Genauigkeit bei jeder Gleichung. Erhöhen Sie die Schrittzahl und vergleichen Sie erneut. Kleinere Schritte beseitigen keine Unsicherheit der Anfangswerte oder Koeffizienten. Prüfen Sie abrupte Änderungen und undefinierte Stellen gesondert. Eine endliche Ausgabe beweist nicht die Existenz einer Lösung im gesamten Intervall.