Identités trigonométriques de somme et de différence

Identités de somme et de différence

Le sinus et le cosinus de deux angles déterminent les valeurs de leur somme et de leur différence. Le sinus d’une somme additionne les produits croisés. Le cosinus d’une somme soustrait le produit des sinus au produit des cosinus. Remplacer le second angle par son opposé donne les formules de différence.

Exemple

Les angles de 30° et 60° donnent une somme de 90°, dont le sinus vaut 1 et le cosinus 0. Leur différence vaut moins 30°, dont le sinus vaut moins 0,5. Saisir 45° pour les deux angles illustre le cas de l’angle double.

Domaine d’application

Cet outil applique quatre identités usuelles et affiche les substitutions numériques. Il ne traite pas les expressions symboliques quelconques et ne considère pas l’accord en un point comme une preuve générale. Chaque entrée possède son sélecteur d’unité angulaire.

Vérifier les signes

Les sommes de sinus et de cosinus n’utilisent pas les mêmes signes. Le sinus d’une somme additionne les produits croisés, tandis que le cosinus soustrait le produit des sinus. Pour une différence, le second terme du sinus est soustrait et les produits du cosinus sont additionnés. Vérifiez le signe selon le quadrant de l’angle combiné.

Saisissez par exemple 30° deux fois. Sur le cercle unité, sin 30° = 0,5 et cos 30° = √3/2. Le sinus de la somme vaut 2 × 0,5 × √3/2 = √3/2 ≈ 0,866025. Le cosinus vaut 3/4 − 1/4 = 0,5. L’angle différence est nul, donc son sinus vaut 0 et son cosinus 1. L’exemple montre l’angle double et la vérification à angle nul.

Permuter les angles ne change pas les résultats de la somme. Le sinus de la différence change de signe, son cosinus reste identique. Ces propriétés aident à contrôler le calcul. Les sorties sont des rapports sans dimension, pas des longueurs ni des angles.

Un angle peut être en degrés et l’autre en radians. Vérifiez chaque sélecteur. Près de zéro, les écarts d’arrondi peuvent paraître relativement importants. Un exemple correct ne prouve pas l’identité pour tous les angles. Le calculateur montre une application numérique, pas une démonstration symbolique.