Träger berechnen: Querkraft, Moment und Durchbiegung

Was liefert eine Trägerberechnung?

Die Bemessung eines Trägers beginnt mit drei Fragen: Welche Kräfte wirken auf die Auflager und wie verlaufen Querkraft und Biegemoment entlang des Trägers? Dieses Werkzeug berechnet sie für Einfeldträger mit gelenkigen Endauflagern und Kragträger unter mehreren Lasten. Es zeichnet die Querkraftlinie (V) und die Biegemomentenlinie (M). Wenn Sie den Elastizitätsmodul und das Flächenträgheitsmoment eingeben, erhalten Sie auch die Biegelinie.

Wie werden die Auflagerreaktionen bestimmt?

Zwei Gleichgewichtsbedingungen reichen aus: Die Summe der vertikalen Kräfte und die Summe der Momente um ein Auflager müssen null sein. Eine Streckenlast wird durch ihre Resultierende ersetzt. Bei Gleichlast beträgt diese W = w × Länge und greift in der Mitte an. Bei einer Dreieckslast liegt sie bei zwei Dritteln der Basis. Für eine Trapezlast gilt x̄ = x₁ + (x₂ − x₁) × (w₁ + 2 × w₂) / (3 × (w₁ + w₂)).

Beim Einfeldträger mit gelenkigen Endauflagern gilt R_B = (Σ W × x̄ + Σ M) / L und R_A = Σ W − R_B. Beim Kragträger gilt R = Σ W, das Einspannmoment beträgt M_A = −(Σ W × x̄ + Σ M).

Diagramme lesen

Die Querkraft ist die Summe der Kräfte links vom betrachteten Schnitt. An einer Einzelkraft springt sie, unter einer Streckenlast verläuft sie geneigt. Das Moment entspricht der Fläche unter der Querkraftlinie: dM / dx = V. Eine Nullstelle der Querkraft kommt als lokales Extremum infrage. Für das betragsmäßig größte Moment sind auch Auflager, Einzellasten und beide Seiten eingeprägter Momente zu vergleichen. Ein eingeprägtes Moment erzeugt einen Sprung in der Momentenlinie. Die Darstellung erfolgt auf der Zugseite. Ein positives Moment erzeugt Zug an der unteren Randfaser.

Beispiel

Ein Einfeldträger mit 6 m Spannweite trägt eine Einzelkraft von 10 kN in 2 m Abstand vom linken Auflager sowie 4 kN/m über das ganze Feld. Die Resultierende der Streckenlast beträgt 24 kN und greift in Feldmitte an. Rechts ergibt sich eine Auflagerreaktion von (10 × 2 + 24 × 3) / 6 = 15,33 kN. Links beträgt sie 34 − 15,33 = 18,67 kN. Die Querkraft wird bei x = 2,17 m null. Dort liegt das größte Moment mit 29,39 kN·m.

Durchbiegung

Die Durchbiegung folgt durch zweimalige Integration der Momentenlinie: E × I × y″ = −M. Das Werkzeug berechnet dies für jeden Lastabschnitt in geschlossener Form, ohne numerische Näherung. Das Flächenträgheitsmoment können Sie mit dem Werkzeug für Querschnittswerte bestimmen.

Grenzen

Das Werkzeug erfasst Einfeldträger mit konstantem Querschnitt. Träger mit Überständen, Durchlaufträger und beidseitig eingespannte Träger benötigen andere Verfahren. Moment und Querkraft folgen aus den eingegebenen Lasten. Lastfaktoren, Lastkombinationen und der Tragfähigkeitsnachweis des Querschnitts richten sich nach der maßgebenden Norm.

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Auflagerreaktionen eines Kragträgers?

Ein 6 m langer Kragträger trägt beispielsweise 10 kN in 2 m Abstand von der Einspannung und 4 kN/m über seine gesamte Länge. Die vertikale Auflagerreaktion beträgt 34 kN, das Schnittmoment an der Einspannung -92 kN·m. Ein negatives Moment bedeutet Zug an der Oberseite. Diese vorläufige Gleichgewichtsberechnung erfasst keine Lastfaktoren, Anschlüsse oder Querschnittstragfähigkeit.