Fachwerk berechnen

Wie wird ein Fachwerk berechnet?

Ein Fachwerk besteht aus geraden Stäben, die an ihren Enden gelenkig verbunden sind. Greifen die Lasten an den Knoten an, überträgt jeder Stab nur eine Normalkraft als Zug oder Druck. Aus Knotenkoordinaten, Stäben, Auflagern und Knotenlasten bestimmt dieser Rechner mit dem direkten Steifigkeitsverfahren die Stabkräfte, Auflagerreaktionen und Knotenverschiebungen. Zugstäbe und Druckstäbe erhalten in der Zeichnung unterschiedliche Farben. Die Liniendicke richtet sich nach der Kraft.

Verfahren

Die Stabsteifigkeit beträgt k = E × A / L. Aus den Richtungskosinus des Stabes wird eine Elementmatrix mit 4 × 4 Einträgen gebildet. Die Stäbe werden zur Systemmatrix zusammengesetzt, die gehaltenen Freiheitsgrade werden abgetrennt und K × u = F wird gelöst. Die Stabkraft ergibt sich aus der Differenz der Endverschiebungen: N = (E × A / L) × (Δu × cos θ + Δv × sin θ). Positive Werte bedeuten Zug, negative Werte Druck. Die Reaktionen folgen aus R = K × u − F und werden am Gleichgewicht des gesamten Tragwerks geprüft.

Statische Bestimmtheit

m bezeichnet die Stabzahl, r die Zahl der Reaktionskomponenten und j die Knotenzahl. Bei m + r = 2 × j ist das Fachwerk statisch bestimmt und die Stabkräfte hängen nicht von den Querschnittsflächen ab. Ist m + r größer, ist es statisch unbestimmt. Die Kräfte hängen dann von den relativen Stabsteifigkeiten ab. Ist die Summe kleiner, liegt ein Mechanismus vor. Auch bei erfülltem Abzählkriterium macht ein Feld ohne Diagonale das Fachwerk instabil. Der Rechner erkennt dies an der singulären Steifigkeitsmatrix und gibt den zu prüfenden Knoten an.

Beispiel

Ein Fachwerk nach Pratt hat vier Felder mit 3 m Feldlänge und 4 m Höhe. An jedem Untergurtknoten wirken 20 kN. Jede Auflagerreaktion beträgt 30 kN. Der geneigte Endstab trägt 30 / 0,8 = 37,5 kN Druck. Der Untergurt trägt 22,5 kN Zug, der Obergurt 30 kN Druck und die Diagonalen 12,5 kN Zug. Der mittlere Pfosten ist ein Nullstab. Bei denselben Knoten in der Anordnung nach Howe werden die Diagonalen zu Druckstäben mit 12,5 kN.

Grenzen

Lasten greifen nur an den Knoten an. Stablasten und Eigengewicht sind daher nicht enthalten. Die Knoten gelten als reibungsfreie Gelenke. Knicken der Druckstäbe, Anschlüsse und Tragfähigkeitsnachweise gehören nicht zum Umfang. Geneigte Loslager und Auflagersetzungen können nicht definiert werden. Das Ergebnis dient der Vorbemessung.

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Spannung in Fachwerkstäben?

Bei einem dreieckigen Fachwerk mit 6 m Spannweite, 4 m Höhe und 20 kN Scheitellast beträgt die Spannung in jedem geneigten Stab mit 20 cm² Querschnittsfläche -6,25 MPa. Das negative Vorzeichen kennzeichnet Druck. Diese Vorberechnung teilt die mit dem Steifigkeitsverfahren ermittelte Kraft durch die Fläche. Sie setzt gelenkige Knoten sowie ein Festlager und ein Loslager voraus. Knicken und Anschlüsse sind nicht enthalten.