Hauptachsen und Hauptträgheitsmomente berechnen

Was sind Hauptachsen?

Das Flächenträgheitsmoment eines Querschnitts hängt von seiner Bezugsachse ab. Beim Drehen der Achsen in der Querschnittsebene ändern sich I_x und I_y. Bei einem Winkel erreicht das Trägheitsmoment sein Maximum, um die senkrechte Achse sein Minimum. Dies sind die Hauptachsen und die zugehörigen Werte die Hauptträgheitsmomente. Das Deviationsmoment ist für Hauptachsen null.

Bei Querschnitten mit einer Symmetrieachse, etwa Profilen in Form eines I, Kastenprofilen und Profilen in Form eines U, liegen die Hauptachsen bereits auf den Symmetrieachsen. Bei unsymmetrischen Querschnitten wie Winkelprofilen und Profilen in Form eines Z sind sie geneigt und müssen berechnet werden.

Formeln

• Hauptträgheitsmomente: I₁, I₂ = (I_x + I_y) / 2 ± √(((I_x − I_y) / 2)² + I_xy²)
• Hauptachsenwinkel: tan 2θ = −2 × I_xy / (I_x − I_y)
• Invariante Summe: I₁ + I₂ = I_x + I_y

Der Winkel wird von der Achse x aus positiv gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Die Beziehungen entsprechen dem Mohrschen Spannungskreis. Der Kreismittelpunkt ist (I_x + I_y) / 2, sein Radius der Wurzelterm.

Beispiel

Ein Winkelprofil 100 × 100 × 10 mm ohne Eckradien hat um seine Schwerpunktachsen I_x = I_y = 180,0 cm⁴ und I_xy = −106,6 cm⁴. Bei gleichen Flächenträgheitsmomenten beträgt der Radius 106,6. Daher gilt I₁ = 180,0 + 106,6 = 286,6 cm⁴ und I₂ = 180,0 − 106,6 = 73,4 cm⁴. Die Achse des größten Trägheitsmoments liegt bei 45 Grad und ist die Symmetrieachse des Winkelprofils.

Bedeutung

Ein Druckstab knickt um seine schwächste Achse. Beim Winkelprofil sind I₂ und der zugehörige kleinste Trägheitsradius maßgebend. Ein unsymmetrischer Träger mit Belastung außerhalb der Hauptachsen biegt sich schief. Das Moment muss dann in Komponenten entlang der Hauptachsen zerlegt werden.

Grenzen

Der Rechner führt nur die Achsentransformation aus. Alle drei Eingaben müssen sich auf Achsen durch denselben Punkt beziehen. Bei Walzprofilen führen Eckradien zu Abweichungen von einigen Prozent gegenüber der Berechnung mit scharfen Ecken.

Häufige Fragen

Wie berechnet man Hauptachsenwinkel?

Beispielsweise ergeben Ix = 200 cm⁴, Iy = 100 cm⁴ und Ixy = 50 cm⁴ die Hauptachsenwinkel -22,5° und 67,5°. Die Beziehung für den doppelten Winkel setzt das Deviationsmoment auf null. Die Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn von der ursprünglichen Achse x gemessen. Die Eingabeachsen müssen senkrecht aufeinander stehen und durch denselben Punkt verlaufen.

Mit diesen Werten berechnen