Torsionsspannung berechnen

Was ist Torsionsspannung?

Ein Moment, das einen Stab um seine Achse verdreht, erzeugt Schubspannungen im Querschnitt. Im Kreisquerschnitt ist diese Spannung im Mittelpunkt null und wächst proportional zum Abstand davon: τ = T × ρ / J. Der größte Wert liegt an der Außenfläche: τ_max = T × r / J.

J ist das polare Flächenträgheitsmoment. Für einen Vollkreis gilt J = π × d⁴ / 32, für einen Kreisring J = π × (D⁴ − d_i⁴) / 32. Werkstoff nahe dem Mittelpunkt trägt wenig Spannung. Daher nimmt ein Rohr bei gleicher Masse mehr Drehmoment auf als ein Vollstab.

Verdrehwinkel

Die Verdrehung eines Endes gegenüber dem anderen ist θ = T × L / (G × J). Das Ergebnis wird in Radiant und zusätzlich in Grad angezeigt. G ist der Schubmodul.

Dünnwandige geschlossene Querschnitte: Formel nach Bredt

Für nicht kreisförmige, geschlossene dünnwandige Querschnitte wie Kastenprofile gilt τ = T / (2 × A_m × t). A_m ist die von der Wandmittellinie eingeschlossene Fläche und nicht die Werkstofffläche. T / (2 × A_m) ist der entlang des Umfangs konstante Schubfluss.

Beispiel

Eine Vollwelle mit 50 mm Durchmesser trägt 1 kN·m Drehmoment. J = π × 50⁴ / 32 = 613 592 mm⁴. Die Spannung beträgt somit 1 000 000 × 25 / 613 592 = 40,7 MPa. Bei 2 m Länge und G = 80 GPa beträgt der Verdrehwinkel 2,33 Grad.

Grenzen

Die Formeln gelten für Kreisquerschnitte und dünnwandige geschlossene Querschnitte. Offene Profile in Form eines I oder U und Winkelprofile besitzen eine sehr geringe Torsionssteifigkeit und werden nicht behandelt. Auch ein längs geschlitztes Rohr ist ein offener Querschnitt und behält nur einen kleinen Bruchteil der Steifigkeit des geschlossenen Rohrs. Spannungskonzentrationen an Passfedernuten und Absätzen sind gesondert zu berücksichtigen.

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Torsionsspannung eines Rohrs?

Ein Rohr mit 60 mm Außendurchmesser, 40 mm Innendurchmesser und 1 kN·m Drehmoment hat beispielsweise an der Außenfläche 29,38 MPa Schubspannung. Die Torsionsgleichung teilt das Produkt aus Drehmoment und Außenradius durch das polare Flächenträgheitsmoment. Diese vorläufige elastische Berechnung berücksichtigt weder Spannungskonzentrationen an Bohrungen noch Ermüdung.

Mit diesen Werten berechnen