Calculateur de contrainte de cisaillement en torsion

Contrainte due au couple : τ = T × r / J. Sections circulaires pleines ou creuses, formule de Bredt, angle de torsion et couple admissible, avec étapes.

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Avertissement sur le calcul préliminaire: Ce calcul est préliminaire. Il donne la contrainte de cisaillement et l’angle de torsion en torsion libre élastique pour les sections circulaires et les sections fermées à paroi mince. Les sections pleines non circulaires, les profils ouverts (I, U, cornière, tube fendu), le gauchissement empêché, les concentrations de contraintes, le voilement des parois minces, la combinaison avec la flexion, la fatigue et le choix du coefficient de sécurité sont exclus. La contrainte admissible et le module de cisaillement sont fournis par l’utilisateur. La conception finale doit suivre la norme applicable et relever d’un ingénieur qualifié.

Formules

Contrainte dans une section circulaire

Formule de torsion (ρ : distance au centre): τ = T · ρ / J
À la surface extérieure (D : diamètre extérieur): τ_{max} = T · D / (2 · J)
Module de résistance polaire: W_{p} = 2 · J / D

Angle de torsion

Formule de torsion (ρ : distance au centre): τ = T · ρ / J
Angle de torsion en radians: θ = T · L / (G · J)

Couple admissible

Formule de torsion (ρ : distance au centre): τ = T · ρ / J
Module de résistance polaire: W_{p} = 2 · J / D
Couple admissible: T = τ_{izin} · W_{p}

Section fermée à paroi mince

Flux de cisaillement (Bredt): q = T / (2 · A_{m})
Contrainte dans la paroi: τ = T / (2 · A_{m} · t)
Angle de torsion (épaisseur constante, radians): θ = T·L·s / (4·A_{m}²·G·t)

Les formules supplémentaires qui dépendent de vos choix sont présentées dans le calculateur.

Hypothèses

Méthode : théorie de la torsion élastique des sections circulaires et relations de Bredt pour les sections fermées à paroi mince (manuels de résistance des matériaux, chapitre sur la torsion. Par exemple Beer et Johnston, Mechanics of Materials. Hibbeler, Mechanics of Materials).
Dans une section circulaire, la contrainte est nulle au centre, croît proportionnellement au rayon et atteint son maximum à la surface extérieure.
La section et le couple sont constants sur la longueur. Pour les arbres étagés, calculez chaque partie séparément et additionnez les angles.
La formule de Bredt s’applique uniquement aux sections fermées à paroi mince. Le résultat est la contrainte moyenne sur l’épaisseur. Dans un tube circulaire, la contrainte extérieure est supérieure : d’environ 9 % lorsque l’épaisseur vaut un dixième du diamètre moyen et d’environ 15 % pour un cinquième (par rapport à la formule de paroi épaisse). L’outil ne donne pas de résultat si cette proportion dépasse un cinquième.
Le calcul de Bredt n’inclut pas les concentrations de contraintes aux angles. Dans les caissons à angles intérieurs vifs, la contrainte aux angles est sensiblement supérieure.
Les profils ouverts (I, U, cornière, tube fendu longitudinalement) et les sections pleines non circulaires sont exclus : leur rigidité de torsion est bien plus faible et leur calcul exige d’autres formules.
Le module de cisaillement et la contrainte admissible sont fournis par l’utilisateur. Pour les arbres avec rainures de clavette, épaulements et fatigue, consultez l’outil de torsion des arbres et la norme applicable. Le calcul détaillé utilise N·mm, mm et MPa.

Comment définir la contrainte de cisaillement en torsion ?

Un moment qui tord une barre autour de son axe (un couple) crée une contrainte de cisaillement dans la section. Dans une section circulaire, cette contrainte est nulle au centre et croît proportionnellement à la distance : τ = T × ρ / J. Le maximum se situe à la surface extérieure : τ_max = T × r / J.

J est le moment quadratique polaire. Pour un cercle plein J = π × d⁴ / 32, pour un cercle creux J = π × (D⁴ − d_i⁴) / 32. Le matériau proche du centre est peu sollicité, un tube transmet donc plus de couple qu’une barre pleine de même masse.

Angle de torsion

La rotation d’une extrémité par rapport à l’autre vaut θ = T × L / (G × J). Le résultat est en radians, l’outil affiche aussi les degrés. G est le module de cisaillement.

Sections fermées à paroi mince : formule de Bredt

Pour les sections non circulaires, fermées et à paroi mince, comme un caisson, la contrainte vaut τ = T / (2 × A_m × t). A_m est l’aire délimitée par la ligne médiane de la paroi, et non l’aire du matériau. T / (2 × A_m) est le flux de cisaillement, constant le long du périmètre.

Exemple

Un arbre plein de diamètre 50 mm transmet un couple de 1 kN·m. J = π × 50⁴ / 32 = 613 592 mm⁴, donc la contrainte vaut 1 000 000 × 25 / 613 592 = 40,7 MPa. Pour une longueur de 2 m et G = 80 GPa, l’angle de torsion vaut 2,33 degrés.

Limites

Les formules couvrent les sections circulaires et les sections fermées à paroi mince. Les profils ouverts comme les I, U et cornières résistent très mal à la torsion et ne sont pas traités ici. Un tube fendu longitudinalement est aussi une section ouverte et ne conserve qu’une faible fraction de la rigidité du tube fermé. Les concentrations de contraintes aux rainures de clavette et aux épaulements doivent être ajoutées séparément.

Questions fréquentes

Comment calculer la contrainte de torsion dans un tube ?

Par exemple, un tube de diamètre extérieur 60 mm et intérieur 40 mm transmettant 1 kN·m présente une contrainte de cisaillement extérieure de 29,38 MPa. L’équation de torsion divise le couple multiplié par le rayon extérieur par le moment quadratique polaire. Ce calcul élastique préliminaire exclut les concentrations de contraintes autour des trous et la fatigue.

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