Taylorpolynom und Maclaurinpolynom berechnen

Taylorpolynome

Ein Taylorpolynom verwendet den Funktionswert und die Ableitungen an einer gewählten Entwicklungsstelle. Der Koeffizient zum Grad k ist f⁽ᵏ⁾(a)/k!. Dieser Rechner verwendet die vorhandene symbolische Ableitungsfunktion für Ordnungen bis vier. Mit null als Entwicklungsstelle entsteht ein Maclaurinpolynom.

Beispiel

Alle Ableitungen von exp(x) haben bei null den Wert 1. Das Polynom vierten Grades lautet 1+x+x²/2+x³/6+x⁴/24. Bei x=1 ergibt es 65/24 als Näherung für exp(1).

Einordnung

Der angegebene absolute Unterschied vergleicht den numerischen Funktionswert und den Polynomwert an einer gewählten Stelle. Er ist weder eine Fehlerschranke für ein Intervall noch ein Nachweis der Konvergenz einer unendlichen Reihe. Prüfen Sie vor Verwendung der Näherung die Differenzierbarkeit nahe der Entwicklungsstelle.

Ausdruck um das Zentrum aufbauen

Wählen Sie als Beispiel f(x) = x³, Zentrum 2 und Grad 2. Im Zentrum beträgt der Funktionswert 8, die erste Ableitung 12 und die zweite Ableitung 12. Die Koeffizienten sind 8, 12 und 12/2 = 6. Daraus folgt 8 + 12(x − 2) + 6(x − 2)². Am Zielpunkt 2,5 beträgt der Polynomwert 15,5. Die Funktion ergibt 15,625, die absolute Differenz also 0,125. Mit dem kubischen Term wird diese Polynomfunktion exakt dargestellt.

Die Potenzen beziehen sich auf x − a, den Abstand vom Zentrum, nicht allein auf x. Die Koeffizienten als solche von Potenzen von x zu lesen ist bei einem Zentrum ungleich null falsch. Im Zentrum muss der konstante Term dem Funktionswert entsprechen. Das ist eine einfache Kontrolle.

Trigonometrische Ausdrücke verwenden Radiant. Nutzen Sie unterstützte Schreibweisen und keine im Zentrum undefinierte Funktion. Ein höherer Grad garantiert nicht an jedem Ziel ausreichende Genauigkeit. Die Punktdifferenz ist keine Fehlerschranke für ein ganzes Intervall. Singularitäten oder Definitionswechsel zwischen Zentrum und Ziel erfordern eine gesonderte Prüfung.

Häufige Fragen

Wie bestimmt man die Maclaurinreihe für e^x?

Das Maclaurinpolynom vom Grad 4 für exp(x) um null ergibt beispielsweise bei 1 den Wert 2,708 gegenüber dem tatsächlichen Wert 2,718. Jeder Koeffizient ist die Ableitung an der Entwicklungsstelle geteilt durch eine Fakultät. Hier sind alle Ableitungen bei null gleich eins. Diese endliche Entwicklung weist weder die Konvergenz der unendlichen Reihe nach noch begrenzt sie den Fehler in einem ganzen Intervall.

Mit diesen Werten berechnen