Calculadora de polinomios de Taylor y Maclaurin

Polinomios de Taylor

Un polinomio de Taylor utiliza el valor de la función y sus derivadas en un centro elegido. El coeficiente de grado k es f⁽ᵏ⁾(a)/k!. Esta herramienta utiliza el motor existente de derivación simbólica para órdenes hasta cuatro. Al elegir cero como centro se obtiene un polinomio de Maclaurin.

Ejemplo

Todas las derivadas de exp(x) valen 1 en cero. El polinomio de grado cuatro es 1+x+x²/2+x³/6+x⁴/24. En x=1 da 65/24, una aproximación a exp(1).

Interpretación

La diferencia absoluta indicada compara los valores numéricos de la función y del polinomio en un punto elegido. No es una cota del error en un intervalo ni una demostración de que la serie infinita converja. Comprueba la derivabilidad cerca del centro antes de utilizar la aproximación.

Construye la expresión alrededor del centro

Como ejemplo, elige f(x) = x³, centro 2 y grado 2. En el centro, la función vale 8, su primera derivada 12 y su segunda derivada 12. Los coeficientes son 8, 12 y 12/2 = 6, dando 8 + 12(x − 2) + 6(x − 2)². En el objetivo 2,5, el polinomio vale 15,5. La función real vale 15,625, por lo que la diferencia absoluta es 0,125. Añadir el término cúbico representa exactamente esta función polinómica.

Las potencias se aplican a x − a, la distancia al centro, no solo a x. Leer los coeficientes como potencias de x produce errores con centro no nulo. En el propio centro, el término constante debe igualar la función. Es una comprobación sencilla.

Las expresiones trigonométricas usan radianes. Introduce notación admitida y evita una función indefinida en el centro. Aumentar el grado no garantiza precisión suficiente en cualquier objetivo. No uses la diferencia puntual como cota de todo un intervalo. Una singularidad o cambio de definición entre centro y objetivo exige otro análisis.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se halla la serie de Maclaurin de e^x?

Por ejemplo, el polinomio de Maclaurin de grado 4 de exp(x) centrado en cero da 2,708 en 1, frente al valor real de 2,718. Cada coeficiente es la derivada en el centro dividida por un factorial. En este caso, todas las derivadas valen uno en cero. Este desarrollo finito no demuestra la convergencia de la serie infinita ni acota el error en todo un intervalo.

Calcular con estos valores