Polinômio de Taylor e Maclaurin

Polinômios de Taylor

Um polinômio de Taylor usa o valor da função e de suas derivadas em um centro escolhido. O coeficiente de grau k é f⁽ᵏ⁾(a)/k!. Esta ferramenta usa o mecanismo existente de derivação simbólica para ordens até quatro. Escolher zero como centro fornece um polinômio de Maclaurin.

Exemplo

Todas as derivadas de exp(x) são iguais a 1 em zero. O polinômio de grau quatro é 1+x+x²/2+x³/6+x⁴/24. Em x=1, ele fornece 65/24, uma aproximação de exp(1).

Interpretação

A diferença absoluta informada compara os valores numéricos da função e do polinômio em um ponto selecionado. Não é um limite do erro em um intervalo nem uma prova de convergência de uma série infinita. Verifique a derivabilidade perto do centro antes de usar a aproximação.

Construa a expressão ao redor do centro

Como exemplo, escolha f(x) = x³, centro 2 e grau 2. No centro, a função vale 8, a primeira derivada 12 e a segunda derivada 12. Os coeficientes são 8, 12 e 12/2 = 6, formando 8 + 12(x − 2) + 6(x − 2)². No alvo 2,5, o polinômio vale 15,5. A função real vale 15,625, então a diferença absoluta é 0,125. Adicionar o termo cúbico representa exatamente essa função polinomial.

As potências se aplicam a x − a, a distância ao centro, não apenas a x. Ler os coeficientes como potências de x gera erro com centro diferente de zero. No próprio centro, o termo constante deve ser igual à função. Essa é uma verificação simples.

Expressões trigonométricas usam radianos. Insira notação aceita e evite uma função indefinida no centro. Aumentar o grau não garante precisão suficiente em qualquer alvo. Não use a diferença pontual como limite de erro de todo um intervalo. Singularidade ou mudança de definição entre centro e alvo exige análise separada.

Perguntas frequentes

Como encontrar a série de Maclaurin de e^x?

Por exemplo, o polinômio de Maclaurin de grau 4 de exp(x) em torno de zero fornece 2,708 em 1, frente ao valor verdadeiro de 2,718. Cada coeficiente é a derivada no centro dividida por um fatorial. Aqui, todas as derivadas são iguais a um em zero. Essa expansão finita não estabelece a convergência da série infinita nem limita o erro em todo um intervalo.

Calcular com estes valores