Taylor ve Maclaurin Polinomu

Taylor polinomu

Taylor yaklaşımı bir fonksiyonun merkezdeki değeri ve türevlerinden kurulur. k derecesindeki katsayı f⁽ᵏ⁾(a)/k! olur. Araç mevcut sembolik türev motoruyla ilk dört türeve kadar hesap yapar. Merkez sıfır seçilirse sonuç Maclaurin polinomudur.

Örnek

exp(x) için sıfırdaki bütün türev değerleri 1 olur. Dördüncü derece polinom 1+x+x²/2+x³/6+x⁴/24 biçimindedir. x=1 için 65/24 verir. Bu değer exp(1) değerine yalnız bir yaklaşımdır.

Yorumlama

Gösterilen mutlak fark, seçilen tek noktadaki fonksiyon değeriyle polinom değerinin sayısal farkıdır. Bir aralıktaki en büyük hata veya sonsuz serinin yakınsaklığı anlamına gelmez. Fonksiyon ve türevlerin merkez çevresinde var olduğunu kontrol edin.

Merkez çevresindeki ifadeyi kurun

Örnek olarak f(x) = x³, merkez 2 ve derece 2 seçilsin. Merkezde fonksiyon 8, ilk türev 12 ve ikinci türev 12 olur. Katsayılar 8, 12 ve 12/2 = 6 olduğundan polinom 8 + 12(x − 2) + 6(x − 2)² biçimindedir. Hedef 2,5 için değer 15,5 bulunur. Asıl fonksiyon 15,625 verdiğinden mutlak fark 0,125 olur. Kübik terim eklendiğinde bu polinom fonksiyonu tam temsil eder.

Açılımın kuvvetleri x değil, merkezden fark olan x − a üzerindedir. Katsayıları doğrudan x kuvvetlerine ait sanmak sıfır dışındaki merkezlerde yanlış sonuç verir. Merkezde hedef noktayı seçtiğinizde sabit terim fonksiyon değerini vermelidir. Bu basit bir sağlamadır.

Trigonometrik ifadelerde açılar radyanla değerlendirilir. Fonksiyonu desteklenen yazımla girin ve merkezde tanımsız bir ifade seçmeyin. Dereceyi artırmak her hedef noktada yeterli yaklaşım garantisi vermez. Gösterilen tek nokta farkını bütün aralığa ait hata sınırı gibi kullanmayın. Özellikle merkezle hedef arasında tekillik veya tanım değişimi varsa farklı bir inceleme gerekir.

Sık sorulanlar

Maclaurin açılımı nasıl bulunur?

Örnekte exp(x) fonksiyonunun sıfır merkezli 4 dereceli Maclaurin polinomu 1 noktasında 2,708 değerini verir, fonksiyonun gerçek değeri 2,718 olur. Her katsayı merkezdeki türevin faktöriyele bölünmesiyle bulunur ve bu fonksiyonda bütün türevler sıfırda birdir, sonlu açılım sonsuz serinin yakınsaklığını veya bütün bir aralık için hata üst sınırını belirlemez.

Bu değerlerle hesapla