Polynôme de Taylor et de Maclaurin

Polynômes de Taylor

Un polynôme de Taylor utilise la valeur de la fonction et de ses dérivées au centre choisi. Le coefficient de degré k vaut f⁽ᵏ⁾(a)/k!. Cet outil utilise le moteur existant de dérivation symbolique jusqu’à l’ordre quatre. Un centre nul donne un polynôme de Maclaurin.

Exemple

Toutes les dérivées de exp(x) valent 1 en zéro. Le polynôme de degré quatre est 1+x+x²/2+x³/6+x⁴/24. En x=1, il donne 65/24, une approximation de exp(1).

Interprétation

L’écart absolu affiché compare les valeurs numériques de la fonction et du polynôme au point choisi. Ce n’est ni une borne d’erreur sur un intervalle ni une preuve de convergence d’une série infinie. Vérifiez la dérivabilité au voisinage du centre avant d’utiliser l’approximation.

Construire l’expression autour du centre

Comme exemple, choisissez f(x) = x³, centre 2 et degré 2. Au centre, la fonction vaut 8, sa dérivée première 12 et sa dérivée seconde 12. Les coefficients sont 8, 12 et 12/2 = 6, donnant 8 + 12(x − 2) + 6(x − 2)². À la cible 2,5, le polynôme vaut 15,5. La fonction vaut 15,625, donc l’écart absolu est 0,125. Ajouter le terme cubique représente exactement cette fonction polynomiale.

Les puissances portent sur x − a, l’écart au centre, pas uniquement sur x. Lire les coefficients comme ceux de puissances de x est faux pour un centre non nul. Au centre, le terme constant doit égaler la fonction. C’est une vérification simple.

Les expressions trigonométriques utilisent les radians. Saisissez une notation admise et évitez une fonction non définie au centre. Augmenter le degré ne garantit pas une précision suffisante partout. L’écart ponctuel n’est pas une borne d’erreur sur un intervalle entier. Une singularité ou un changement de définition entre centre et cible demande une analyse séparée.

Questions fréquentes

Comment obtenir le développement de Maclaurin de e^x ?

Par exemple, le polynôme de Maclaurin de degré 4 de exp(x) centré en zéro donne 2,708 en 1, contre une valeur exacte de 2,718. Chaque coefficient est la dérivée au centre divisée par une factorielle, et toutes les dérivées valent un en zéro ici. Ce développement fini n’établit donc ni la convergence de la série infinie ni une borne d’erreur sur tout un intervalle.

Calculer avec ces valeurs