Calculateur de factorisation

Quel est le rôle du calculateur de factorisation ?

Il réécrit le polynôme saisi comme produit de facteurs plus simples et indique la règle employée à chaque étape. Il extrait d’abord le facteur commun, puis essaie les identités usuelles : différence de deux carrés, carrés parfaits, somme et différence de deux cubes. Pour les trinômes, il cherche deux nombres ayant le produit et la somme requis. Pour quatre termes, il essaie le regroupement. Si ces méthodes ne conviennent pas, il applique le théorème des racines rationnelles, teste les racines candidates et divise par le facteur trouvé. Le second onglet décompose un entier en facteurs premiers avec les étapes de division.

Identités utilisées

Différence de deux carrés : a² − b² = (a − b)(a + b).

Carrés parfaits : a² + 2ab + b² = (a + b)² et a² − 2ab + b² = (a − b)².

Somme de deux cubes : a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).

Différence de deux cubes : a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).

Trinômes : dans x² + bx + c, si le produit de m et n vaut c et leur somme vaut b, le résultat est (x + m)(x + n).

Exemple

Saisissez x^2 - 5x + 6. Les deux nombres de produit 6 et de somme −5 sont −2 et −3. On obtient donc (x − 2)(x − 3). Vérifiez par développement : x² − 3x − 2x + 6 = x² − 5x + 6. Lorsque le coefficient dominant n’est pas 1, comme dans 6x^2 - 7x - 3, multipliez 6 par −3 et cherchez deux nombres de produit −18 et de somme −7, soit −9 et 2. La décomposition du terme central puis le regroupement donnent (2x − 3)(3x + 1).

Plusieurs lettres

Un facteur commun peut être extrait quel que soit le nombre de lettres : 6x^2y + 9xy^2 devient 3xy(2x + 3y). Les expressions à deux lettres dont tous les termes ont le même degré sont traitées par les identités : x^2 - y^2, a^3 + b^3, x^2 + 5xy + 6y^2. Pour quatre termes, le regroupement est essayé : ax + ay + bx + by devient (a + b)(x + y). Chaque lettre est une variable distincte, sauf e, qui représente le nombre d’Euler, et pi, qui représente π.

Lire le résultat

Les facteurs ont des coefficients entiers. Tout facteur commun fractionnaire ou négatif est placé devant. Un facteur indiqué comme non factorisable ne se décompose plus à coefficients rationnels, comme x² + 1 ou x² − 2. Pour les polynômes à une lettre, les racines réelles sont aussi affichées.

Limites

L’outil travaille sur les rationnels : il ne décompose pas x² − 2 en (x − √2)(x + √2), même s’il en donne les racines. Pour les polynômes de degré quatre ou plus sans racine rationnelle, une recherche bornée trouve les facteurs à coefficients entiers. Si la recherche ne peut pas être achevée, l’outil indique que la possibilité d’une décomposition supplémentaire reste indéterminée. Pour plusieurs lettres, seuls les cas décrits précédemment sont pris en charge. L’onglet des facteurs premiers accepte les entiers de 2 à 10¹⁵.

Questions fréquentes

Comment factoriser un polynôme à quatre termes ?

Par exemple, x³ + x² − x − 1 se factorise en (x − 1)(x + 1)². Regroupez les termes pour extraire un facteur commun, appliquez la différence de deux carrés, puis développez pour retrouver l’expression initiale. Cet exemple a des coefficients rationnels. Une recherche inachevée à un degré supérieur ne prouve pas l’irréductibilité du polynôme.

Calculer avec ces valeurs