Çarpanlara Ayırma

Çarpanlara ayırma aracı ne yapar?

Yazdığınız polinomu, çarpımı o polinoma eşit olan daha basit çarpanlara ayırır ve hangi kuralı neden kullandığını adım adım gösterir. Önce ortak çarpanı paranteze alır, sonra bilinen özdeşlikleri dener: iki kare farkı, tam kare, küp toplamı ve küp farkı. Üç terimli ifadelerde çarpımı ve toplamı tutan iki sayıyı arar, dört terimli ifadelerde gruplama yapar. Bunlar yetmezse rasyonel kök teoremiyle olası kökleri tek tek dener ve bulduğu kökün çarpanını bölerek ayırır. İkinci sekme bir tam sayının asal çarpanlarını bölme adımlarıyla verir.

Kullanılan özdeşlikler

• İki kare farkı: a² − b² = (a − b)(a + b)
• Tam kare: a² + 2ab + b² = (a + b)² ve a² − 2ab + b² = (a − b)²
• Küp toplamı: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
• Küp farkı: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
• Üç terimli: x² + bx + c ifadesinde çarpımı c, toplamı b olan iki sayı m ve n ise sonuç (x + m)(x + n) olur.

Örnek

x^2 - 5x + 6 yazın. Çarpımı 6, toplamı −5 olan iki sayı −2 ve −3 olduğundan sonuç (x − 2)(x − 3) çıkar. Açarak sağlayın: x² − 3x − 2x + 6 = x² − 5x + 6. Baş katsayı 1 değilse, örneğin 6x^2 - 7x - 3 için, 6 ile −3 çarpılır ve çarpımı −18, toplamı −7 olan −9 ile 2 bulunur. Orta terim bu iki sayıyla bölünüp gruplanınca (2x − 3)(3x + 1) elde edilir.

Birden çok harf

Ortak çarpan her sayıda harf için alınır: 6x^2y + 9xy^2 ifadesi 3xy(2x + 3y) olur. Bütün terimleri aynı dereceden olan iki harfli ifadeler özdeşliklerle ayrılır: x^2 - y^2, a^3 + b^3, x^2 + 5xy + 6y^2. Dört terimli ifadelerde gruplama denenir: ax + ay + bx + by ifadesi (a + b)(x + y) olur. Her harf ayrı bir değişkendir, yalnız e harfi Euler sayısı olarak okunur.

Sonuç nasıl okunur?

Çarpanlar tam katsayılı yazılır, kesirli ya da negatif ortak çarpan başa alınır. Bir çarpanın yanında "ayrılmaz" yazıyorsa o çarpan rasyonel katsayılarla daha küçük çarpanlara bölünemez: x² + 1 ya da x² − 2 gibi. Tek harfli polinomlarda gerçel kökler de listelenir.

Sınırlar

Araç rasyonel sayılar üzerinde çalışır: x² − 2 ifadesini (x − √2)(x + √2) diye ayırmaz, köklerini ayrıca gösterir. Dördüncü ve daha yüksek dereceli, rasyonel kökü olmayan polinomlarda tam katsayılı çarpanlar sınırlı bir aramayla bulunur. Arama tamamlanamazsa çarpanın daha fazla ayrılıp ayrılmadığının belirlenemediği açıkça yazılır. Birden çok harfli ifadelerde yalnız yukarıda sayılan durumlar desteklenir. Asal çarpan sekmesi 2 ile 10¹⁵ arasındaki tam sayıları kabul eder.