Calculadora de fatoração de polinômios

O que faz a calculadora de fatoração?

Ela reescreve o polinômio digitado como produto de fatores mais simples e mostra a regra usada em cada etapa. Primeiro coloca o fator comum em evidência. Depois testa identidades usuais: diferença de quadrados, quadrados perfeitos, soma e diferença de cubos. Para trinômios, procura dois números com o produto e a soma corretos. Para quatro termos, usa agrupamento. Quando esses métodos não se aplicam, usa o teorema das raízes racionais, testa cada candidato e divide pelo fator encontrado. A segunda aba fornece os fatores primos de um inteiro, com as divisões.

Identidades usadas

Diferença de quadrados: a² − b² = (a − b)(a + b) Quadrados perfeitos: a² + 2ab + b² = (a + b)² e a² − 2ab + b² = (a − b)² Soma de cubos: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) Diferença de cubos: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) Trinômios: em x² + bx + c, se m e n têm produto c e soma b, o resultado é (x + m)(x + n).

Exemplo

Digite x^2 - 5x + 6. Os dois números com produto 6 e soma −5 são −2 e −3, portanto o resultado é (x − 2)(x − 3). Confira expandindo: x² − 3x − 2x + 6 = x² − 5x + 6. Quando o coeficiente dominante não é 1, como em 6x^2 - 7x - 3, multiplique 6 por −3 e procure dois números com produto −18 e soma −7: −9 e 2. Decompondo o termo central e agrupando, o resultado é (2x − 3)(3x + 1).

Mais de uma letra

O fator comum pode ser extraído com qualquer quantidade de letras: 6x^2y + 9xy^2 vira 3xy(2x + 3y). Expressões homogêneas com duas letras são fatoradas por identidades: x^2 - y^2, a^3 + b^3, x^2 + 5xy + 6y^2. Expressões com quatro termos são testadas por agrupamento: ax + ay + bx + by vira (a + b)(x + y). Cada letra é uma variável separada, exceto e, interpretada como número de Euler, e pi, interpretada como π.

Como ler o resultado

Os fatores têm coeficientes inteiros. Qualquer fator comum fracionário ou negativo aparece à frente. Um fator marcado como não fatorável não pode ser decomposto com coeficientes racionais, como x² + 1 ou x² − 2. Para polinômios com uma letra, as raízes reais também são listadas.

Limites

A calculadora trabalha sobre os racionais: não decompõe x² − 2 em (x − √2)(x + √2), embora liste as raízes. Para polinômios de grau quatro ou maior sem raiz racional, fatores com coeficientes inteiros são encontrados por uma busca limitada. Se a busca não terminar, a calculadora informa que não pôde determinar se o fator pode ser decomposto. Com várias letras, apenas os casos acima são aceitos. A aba de fatores primos aceita inteiros de 2 a 10¹⁵.

Perguntas frequentes

Como fatorar um polinômio com quatro termos?

Por exemplo, o polinômio de quatro termos x³ + x² − x − 1 pode ser fatorado como (x − 1)(x + 1)². Agrupe os termos para colocar um fator comum em evidência, aplique a identidade da diferença de quadrados e multiplique os fatores para conferir a expressão original. Este exemplo tem coeficientes racionais. Uma busca incompleta em graus maiores não prova que o polinômio seja irredutível.

Calcular com estes valores