Polygonfläche und Grundstücksfläche aus Koordinaten

Wie wird die Fläche aus Koordinaten berechnet?

Die Fläche eines Polygons mit bekannten Eckkoordinaten wird mit der Gaußschen Flächenformel berechnet. Wegen der überkreuzten Produkte ist sie auch als Schuhbändelformel bekannt. Die Eckpunkte werden der Reihe nach betrachtet. Jede Koordinate x wird mit der Koordinate y des nächsten Punkts multipliziert und jede Koordinate y mit dessen Koordinate x. Die Differenzen werden addiert und die Summe halbiert:

A = |(x₁ × y₂ − x₂ × y₁) + (x₂ × y₃ − x₃ × y₂) + …| / 2

Nach dem letzten Eckpunkt folgt wieder der erste. Die Formel gilt für beliebig viele Eckpunkte und auch für konkave Formen.

Beispiel

Für das Dreieck mit den Eckpunkten (0, 0), (4, 0) und (0, 3) lauten die Differenzen 0 × 0 − 4 × 0 = 0, 4 × 3 − 0 × 0 = 12 und 0 × 0 − 0 × 3 = 0. Die Summe ist 12 und die Fläche 12 / 2 = 6 Flächeneinheiten. Grundseite mal Höhe durch zwei ergibt ebenfalls 4 × 3 / 2 = 6.

Grundstücksflächen

Geben Sie die Eckpunkte in Metern ein, um die Fläche in Quadratmetern zu erhalten. Der Rechner zeigt zusätzlich Dekar und Hektar. 1 Dekar entspricht 1000 m² und 1 Hektar 10 000 m². Ein Grundstück mit den Eckpunkten (0, 0), (60, 0), (75, 40), (35, 65) und (−10, 35) Metern hat eine Fläche von 3875 m² oder 0,3875 Hektar.

Kartenkoordinaten können Millionenwerte erreichen. Für die Berechnung verschiebt der Rechner den Ursprung zum ersten Eckpunkt, um die Genauigkeit bei großen Zahlen zu erhalten.

Warum ist die Punktreihenfolge wichtig?

Eckpunkte müssen entlang des Randes eingegeben werden. Bei vertauschter Reihenfolge kreuzen sich Seiten und die Formel liefert einen unbrauchbaren Wert. Der Rechner erkennt selbstschneidende Polygone und warnt. Die Umlaufrichtung beeinflusst die Fläche nicht und wird gesondert angegeben.

Umfang, Seiten und Schwerpunkt

Jede Seitenlänge ist der Abstand zweier Eckpunkte. Der Umfang ist ihre Summe. Der Schwerpunkt ist der Punkt, an dem eine aus gleichmäßigem Blech ausgeschnittene Form im Gleichgewicht wäre.

Liste einfügen und CSV

Statt die Koordinaten einzeln einzutragen, können Sie zwei Spalten aus einer Tabellenkalkulation in das Eingabefeld kopieren oder eine Datei als CSV laden. Die Ergebnisse lassen sich als CSV herunterladen.

Grenzen

Die Seiten werden als gerade angenommen. Geografische Breiten und Längen in Grad können nicht direkt verwendet werden. Das Ergebnis dient zur Information. Die amtliche Fläche ergibt sich aus Grundbuch und Kataster.