Koordinaten in 2D drehen und verschieben

Der Rechner dreht Punkte. Um die Koordinatenachsen um θ zu drehen, geben Sie −θ ein oder verwenden Sie die inverse Transformationsmatrix.

Was ist eine Koordinatentransformation?

Wird eine Form durch Änderung ihrer Eckkoordinaten verschoben, gedreht, vergrößert oder gespiegelt, spricht man von einer Koordinatentransformation. Jede Transformation ordnet den alten Koordinaten neue zu. Mehrere aufeinanderfolgende Transformationen lassen sich zu einer einzigen Matrix zusammenfassen.

Verschiebung und Drehung

Eine Verschiebung addiert zu jedem Punkt dieselben Werte: x′ = x + Δx, y′ = y + Δy.

Eine Drehung um θ um den Ursprung ergibt x′ = x·cos θ − y·sin θ und y′ = x·sin θ + y·cos θ. Ein positiver Winkel dreht gegen den Uhrzeigersinn. Eine Drehung um 90 Grad bildet (x, y) auf (−y, x) ab.

Für eine Drehung um ein anderes Zentrum wird zunächst dessen Lage vom Punkt abgezogen. Nach der Drehung wird das Zentrum wieder addiert.

Beispiel

Der Punkt (4, 2) wird um 30 Grad um den Ursprung gedreht und anschließend um (10, 5) verschoben. Nach der Drehung gilt x = 4 × 0,866 − 2 × 0,5 = 2,464 und y = 4 × 0,5 + 2 × 0,866 = 3,732. Die Verschiebung ergibt den neuen Punkt (12,464, 8,732).

Transformationsmatrix

Eine Verschiebung allein lässt sich nicht mit einer 2×2 Matrix darstellen. Daher wird der Punkt um eine dritte Komponente (1) ergänzt und eine 3×3 Matrix verwendet. Der obere linke 2×2 Block beschreibt Drehung, Skalierung und Spiegelung. Die letzte Spalte enthält die Verschiebung. Bei verketteten Transformationen werden die Matrizen multipliziert. Der erste Schritt steht ganz rechts im Produkt.

Warum ist die Reihenfolge wichtig?

Erst drehen und dann verschieben ergibt etwas anderes als erst verschieben und dann drehen. Wird der Punkt (1, 0) um 90 Grad gedreht und danach um (1, 0) verschoben, entsteht (1, 1). Bei umgekehrter Reihenfolge entsteht (0, 2).

Anwendungen

Die Berechnung dient etwa zur Übertragung von Entwurfskoordinaten in ein örtliches Baustellenraster, zur Drehung von Bohrungskoordinaten, zur Spiegelung einer symmetrischen Bauteilhälfte, zur Verschiebung eines Werkstücknullpunkts und zur Transformation von Formen in der Computergrafik.

Grenzen

Der Rechner arbeitet in der Ebene und rechnet keine Einheiten um. Geodätische Bezugssysteme und Kartenprojektionen werden nicht umgerechnet.

Häufige Fragen

Wie dreht man einen Punkt um 180 Grad gegen den Uhrzeigersinn?

Die Drehung des Beispielpunkts (2, 3) um 180° gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung ergibt (-2, -3). Eine halbe Umdrehung ändert nur die Vorzeichen beider Koordinaten. Die Drehmatrix wirkt auf den Punkt und nicht auf die Achsen. Einheitliche Längeneinheiten sind erforderlich. Transformationen geodätischer Bezugssysteme und Kartenprojektionen gehören nicht zum Umfang.