Matrixrechner

Was berechnet der Matrixrechner?

Geben Sie die Matrizen A und B ein und wählen Sie Addition, Subtraktion, Multiplikation, skalare Multiplikation, Transposition, Determinante, Inverse, Rang, Gaußverfahren mit reduzierter Zeilenstufenform oder ganzzahlige Potenzen. Die Größen reichen von 1 bis 5. Zellen akzeptieren ganze Zahlen, Dezimalzahlen oder Brüche wie 3/4.

Warum erscheinen Brüche?

Die Rechnung erfolgt mit Brüchen ohne Rundung. In einer Inversen steht daher 1/3 statt 0,3333. Eine Matrix mit Determinante null erscheint nicht infolge einer Rundung invertierbar. Die Ergebnisanzeige kann auf Dezimalzahlen umgeschaltet werden.

Formeln

Für C = A × B muss die Spaltenanzahl von A der Zeilenanzahl von B entsprechen. cᵢⱼ ist die Summe der Produkte aus Zeile i von A und Spalte j von B. Die Reihenfolge ist wesentlich. A × B und B × A sind meist verschieden. Die Determinante einer Matrix 2×2 ist det = a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁. Größere Matrizen werden durch Zeilenoperationen in obere Dreiecksform gebracht. Die Determinante ist das Produkt der Diagonale. Jeder Zeilentausch kehrt ihr Vorzeichen um. Für die Inverse wird [A | I] zu [I | A⁻¹] reduziert. Bei Determinante null existiert keine Inverse. Der Rang ist die Anzahl der von null verschiedenen Zeilen in Zeilenstufenform.

Beispiel

Für A = [1 2, 3 4] beträgt die Determinante 1·4 − 2·3 = −2. Die Inverse ist 1/(−2) mal [4 −2, −3 1], also [−2 1, 3/2 −1/2]. Das Produkt aus A und ihrer Inversen ergibt die Einheitsmatrix.

Grenzen

Die maximale Größe ist 5×5. Zellen akzeptieren nur Zahlen. Symbolische Matrizen und komplexe Zahlen sind ausgeschlossen. Eigenwerte, Eigenvektoren und Zerlegungen wie LU und QR sind nicht enthalten. Eingegebene Dezimalzahlen werden exakt als Brüche übernommen. 0,1 gilt genau als 1/10.

Häufige Fragen

Wie wird eine Matrixmultiplikation berechnet?

Die Matrix mit Zeilen (1, 2) und (3, 4), multipliziert mit der Matrix mit Zeilen (5, 6) und (7, 8), ergibt im Beispiel die Zeilen (19, 22) und (43, 50). Jeder Eintrag ist die Produktsumme der entsprechenden Zeile und Spalte. Eine umgekehrte Reihenfolge ändert im Allgemeinen das Ergebnis.