Calculateur de matrices

Que fait le calculateur de matrices ?

Saisissez les matrices A et B, puis choisissez une opération : addition, soustraction, multiplication, multiplication par un scalaire, transposition, déterminant, inverse, rang, élimination de Gauss (forme échelonnée réduite) ou puissance entière. Les dimensions vont de 1 à 5. Les cellules acceptent les entiers, les nombres décimaux et les fractions telles que 3/4.

Pourquoi des résultats en fractions ?

Les calculs utilisent des fractions sans arrondi. L’inverse affiche donc 1/3 plutôt que 0,3333, et une matrice de déterminant nul n’apparaît jamais inversible à cause d’un arrondi. Vous pouvez choisir l’affichage décimal.

Formules

Produit : pour C = A × B, le nombre de colonnes de A doit égaler le nombre de lignes de B. L’élément cᵢⱼ est la somme des produits de la ligne i de A et de la colonne j de B. L’ordre compte : A × B et B × A sont généralement différents.

Déterminant 2×2 : det = a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁.

Déterminants de plus grande taille : des opérations sur les lignes ramènent la matrice à une forme triangulaire supérieure. Le déterminant est le produit des éléments diagonaux. Chaque échange de lignes inverse le signe.

Inverse : la matrice augmentée [A | I] est réduite à [I | A⁻¹]. Si le déterminant est nul, l’inverse n’existe pas.

Rang : nombre de lignes non nulles de la forme échelonnée.

Exemple

Pour A = [1 2, 3 4], le déterminant vaut 1·4 − 2·3 = −2. L’inverse est 1/(−2) fois [4 −2, −3 1], soit [−2 1, 3/2 −1/2]. Le produit de A par son inverse redonne la matrice identité.

Limites

La taille maximale est 5×5. Les cellules acceptent uniquement des nombres. Les matrices symboliques et les nombres complexes ne sont donc pas pris en charge. Les valeurs propres, les vecteurs propres et les décompositions matricielles (LU, QR) ne sont pas couverts. Les saisies décimales sont converties en fractions exactes : 0,1 est traité comme exactement 1/10.

Questions fréquentes

Comment multiplier des matrices ?

Dans cet exemple, le produit de la matrice de lignes (1, 2) et (3, 4) par celle de lignes (5, 6) et (7, 8) donne les lignes (19, 22) et (43, 50). Chaque élément est la somme des produits des éléments de la ligne et de la colonne correspondantes. Inverser l’ordre de multiplication change généralement le résultat.