Calculadora de matrices

¿Qué hace la calculadora de matrices?

Introduce las matrices A y B y elige la operación: suma, resta, producto, multiplicación por un escalar, transpuesta, determinante, inversa, rango, eliminación de Gauss (forma escalonada reducida por filas) y potencias enteras. Los tamaños van de 1 a 5. Las celdas admiten enteros, decimales o fracciones como 3/4.

¿Por qué los resultados son fracciones?

Los cálculos se realizan con fracciones y sin redondeo. Por eso, en una inversa aparece 1/3 en lugar de 0,3333, y una matriz con determinante cero nunca parece invertible por errores de redondeo. Si lo prefieres, puedes mostrar el resultado en decimales.

Fórmulas

• Producto: para C = A × B, el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. El elemento cᵢⱼ es la suma de productos de la fila i de A y la columna j de B. El orden importa: A × B y B × A suelen ser diferentes.
• Determinante 2×2: det = a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁.
• Determinantes mayores: la matriz se lleva a forma triangular superior mediante operaciones por filas y el determinante es el producto de la diagonal. Cada intercambio de filas invierte el signo.
• Inversa: la matriz ampliada [A | I] se reduce a [I | A⁻¹]. Si el determinante es cero, no hay inversa.
• Rango: el número de filas no nulas de la forma escalonada.

Ejemplo

Para A = [1 2, 3 4], el determinante es 1·4 − 2·3 = −2. La inversa es 1/(−2) por [4 −2, −3 1], lo que da [−2 1, 3/2 −1/2]. Al multiplicar A por su inversa se obtiene la matriz identidad.

Límites

El tamaño máximo es 5×5. Las celdas solo admiten números, por lo que no se admiten matrices simbólicas ni números complejos. Los valores propios, vectores propios y descomposiciones matriciales (LU, QR) quedan fuera del alcance de esta herramienta. Las entradas decimales se convierten en fracciones exactas tal como se escriben: 0,1 se trata como exactamente 1/10.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el producto de matrices?

En este ejemplo, al multiplicar la matriz de filas (1, 2) y (3, 4) por la matriz de filas (5, 6) y (7, 8) se obtienen las filas (19, 22) y (43, 50). Cada elemento es la suma de los productos de la fila y la columna correspondientes. Invertir el orden de la multiplicación suele cambiar el resultado.