Logarithmen für log, ln und beliebige Basen berechnen

Was berechnet der Logarithmusrechner?

Es gibt vier Bereiche. Berechnen liefert Logarithmen beliebiger Basis. Exakte Ergebnisse wie log₂ 8 = 3 und log₄ 8 = 3/2 erscheinen als Bruch, andere dezimal. Unbekannte bestimmt x, b oder y in log_b x = y. Basiswechsel schreibt einen Logarithmus als Quotienten zweier Logarithmen mit anderer Basis. Regeln zerlegt einen Logarithmus oder fasst mehrere zusammen.

Was ist ein Logarithmus?

log_b x = y bedeutet, dass b hoch y gleich x ist: b^y = x. Beispiel: log₂ 8 = 3, denn 2³ = 8. Die Basis muss positiv und ungleich 1 sein, das Argument positiv. Zur Basis 10 schreibt man log, zur Basis e ln. Geben Sie als Basis 10, e, 2 oder eine andere positive Zahl ein.

Basiswechsel

Rechner bieten oft nur log und ln. Andere Basen lassen sich mit log_b x = ln x / ln b berechnen. Beispiel: log₂ 10 = ln 10 / ln 2 = 2,302585 / 0,693147 = 3,321928.

Antilogarithmus und unbekannte Basis

Ist x in log_b x = y gesucht, gilt x = b^y. Dies ist der Antilogarithmus. Aus log x = −2 folgt x = 10⁻² = 0,01. Ist die Basis gesucht, gilt b = x^(1/y). Aus log_b 81 = 4 folgt b = 81^(1/4) = 3.

Logarithmengesetze

Produkt: log(a·b) = log a + log b. Quotient: log(a/b) = log a − log b. Potenz: log(aⁿ) = n·log a. Wurzel: log(√a) = (1/2)·log a.

Zerlegen: log(x^2*y/z) = 2log(x) + log(y) − log(z). Zusammenfassen: 2log(x) + 3log(y) - log(z) = log(x²·y³/z). Verwenden Sie im Bereich Regeln log zur Basis 10, ln zur Basis e oder log2 zur Basis 2. Für den Logarithmus einer Summe gibt es keine entsprechende Regel. log(x + y) kann nicht zerlegt werden.

Grenzen

Der Logarithmus von null oder einer negativen Zahl ist reell undefiniert. Dezimalwerte werden auf 12 signifikante Stellen gerundet. Exakte Ergebnisse werden nur gesucht, wenn Zahl und Basis ganzzahlig oder Brüche sind und der Exponent ein Bruch mit kleinem Nenner ist. Zerlegen und Zusammenfassen gelten nur bei positiven Ausdrücken in allen Logarithmen. Zum Zusammenfassen müssen alle Logarithmen dieselbe Basis haben. Für allgemeine logarithmische Gleichungen verwenden Sie den Gleichungslöser.

Häufige Fragen

Wie berechnet man den Logarithmus einer Zahl?

Für die Zahl 5 und die Basis 2 beträgt der Logarithmus hier 2,322. Das Ergebnis ist definitionsgemäß der Exponent, mit dem die Basis die gegebene Zahl erzeugt. Die Basiswechselformel bietet einen weiteren Rechenweg. Reelle Logarithmen erfordern ein positives Argument und eine positive Basis ungleich eins.

Mit diesen Werten berechnen