Calculateur de logarithmes : log, ln et base quelconque avec étapes

Que fait le calculateur de logarithmes ?

Il comporte quatre onglets. L’onglet Calculer trouve un logarithme dans une base quelconque. Si le résultat est exact (log₂ 8 = 3, log₄ 8 = 3/2), il est donné en fraction, sinon sous forme décimale. L’onglet Inconnue détermine x, b ou y dans log_b x = y. L’onglet Changement de base réécrit un logarithme comme un quotient de logarithmes dans une autre base. L’onglet Propriétés développe un logarithme ou en regroupe plusieurs en un seul.

Définition du logarithme

log_b x = y signifie que b élevé à la puissance y donne x : b^y = x. Exemple : log₂ 8 = 3 car 2³ = 8. La base doit être strictement positive et différente de 1, et l’argument doit être strictement positif. Le logarithme de base 10 se note log et celui de base e se note ln. Dans le champ de la base, vous pouvez saisir 10, e, 2 ou tout autre nombre strictement positif.

Changement de base

Les calculatrices ne proposent que log et ln. Pour une autre base, utilisez log_b x = ln x / ln b. Exemple : log₂ 10 = ln 10 / ln 2 = 2,302585 / 0,693147 = 3,321928.

Antilogarithme et base inconnue

Si x est l’inconnue dans log_b x = y, alors x = b^y. C’est l’antilogarithme : si log x = −2, alors x = 10⁻² = 0,01. Si la base est inconnue, b = x^(1/y) : si log_b 81 = 4, alors b = 81^(1/4) = 3.

Propriétés des logarithmes

Produit : log(a·b) = log a + log b

Quotient : log(a/b) = log a − log b

Puissance : log(aⁿ) = n·log a

Racine : log(√a) = (1/2)·log a

Développement : log(x^2*y/z) = 2log(x) + log(y) − log(z). Regroupement : 2log(x) + 3log(y) - log(z) = log(x²·y³/z). Dans l’onglet Propriétés, saisissez log (base 10), ln (base e) ou log2 (base 2). Aucune propriété ne permet de développer le logarithme d’une somme : log(x + y) ne se développe pas.

Limites

Le logarithme de zéro ou d’un nombre négatif n’est pas défini dans les réels. Les résultats décimaux sont arrondis à 12 chiffres significatifs. Un résultat exact est recherché uniquement si le nombre et la base sont des entiers ou des fractions et si l’exposant est une fraction de petit dénominateur. Le développement et le regroupement sont valables lorsque chaque expression dans un logarithme est strictement positive. Pour le regroupement, tous les logarithmes doivent avoir la même base. Pour les équations logarithmiques générales, utilisez le solveur d’équations.

Questions fréquentes

Comment calculer le logarithme d’un nombre ?

Dans cet exemple, le logarithme de 5 en base 2 vaut 2,322. Par définition, le résultat est l’exposant qui permet de retrouver le nombre donné à partir de la base. Le changement de base permet un autre calcul. Dans les réels, l’argument doit être strictement positif et la base strictement positive et différente de un.

Calculer avec ces valeurs