Kreis und Tangente berechnen

Tangente von einem äußeren Punkt an einen Kreis

Von einem Punkt außerhalb eines Kreises lassen sich zwei Tangenten ziehen. Im Berührpunkt steht die Tangente senkrecht auf dem Radius. Mittelpunkt, äußerer Punkt und Berührpunkt bilden daher ein rechtwinkliges Dreieck. Die Hypotenuse ist der Abstand d des Punkts vom Mittelpunkt. Eine Kathete ist der Radius r, die andere die Tangentenlänge: L = √(d² − r²).

Beispiel: Bei 5 Einheiten Abstand zum Mittelpunkt und einem Radius von 3 beträgt die Tangentenlänge √(25 − 9) = 4 Einheiten. Der Winkel zwischen den Tangenten ist 2 × arcsin(3 / 5) = 73,74 Grad.

Schneidet eine Gerade den Kreis?

Vergleichen Sie den Abstand des Mittelpunkts zur Geraden mit dem Radius. Ist er kleiner, schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten. Ist er gleich, berührt sie ihn. Ist er größer, gibt es keinen gemeinsamen Punkt. Bei einem Schnitt beträgt die Sehnenlänge k = 2 × √(r² − d²).

Beispiel: Ein Kreis mit Radius 5 und Mittelpunkt im Ursprung schneidet die Gerade y = x + 1 an den Punkten (3, 4) und (−4, −3). Die Sehne ist 9,899 Einheiten lang.

Lage zweier Kreise

Vergleichen Sie den Mittelpunktabstand d mit Summe und Differenz der Radien. Ist d größer als die Summe, liegen die Kreise getrennt. Bei Gleichheit berühren sie sich außen. Zwischen Differenz und Summe schneiden sie sich in zwei Punkten. Bei Gleichheit mit der Differenz berühren sie sich innen. Unterhalb der Differenz liegt ein Kreis im anderen.

Bei zwei getrennten Kreisen beträgt die äußere gemeinsame Tangentenlänge √(d² − (r₁ − r₂)²), die innere √(d² − (r₁ + r₂)²).

Anwendungen

Damit lassen sich die gerade Riemenstrecke zwischen zwei Scheiben, der Übergang einer Eckausrundung zur geraden Kante, der Abstand eines Rohrs zu einem Tank oder einer Stütze und die Überlappung kreisförmiger Flächen bestimmen.

Grenzen

Geben Sie alle Maße in derselben Einheit ein. Von einem Punkt im Kreisinneren existiert keine Tangente. Erwarten Sie bei Messwerten keine exakte Berührung. Der Rechner verwendet eine sehr enge numerische Schwelle.

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Tangentenlänge von einem äußeren Punkt?

Bei einem Kreis mit Mittelpunkt (0, 0) und Radius 3 hat die Tangente vom Punkt (5, 0) die Länge 4 Einheiten. Nach dem Satz des Pythagoras wird das Radiusquadrat vom Quadrat des Mittelpunktabstands abgezogen und die Quadratwurzel gebildet. Alle Maße müssen dieselbe Einheit haben. Der Punkt muss außerhalb liegen.

Mit diesen Werten berechnen