Rechner für komplexe Zahlen und Polarform

Was ist eine komplexe Zahl?

Eine komplexe Zahl lautet z = a + bi. Dabei ist a der Realteil, b der Imaginärteil und i die imaginäre Einheit mit Quadrat −1. Eine komplexe Zahl lässt sich als Punkt in einer Ebene darstellen. Die waagerechte Achse zeigt den Realteil, die senkrechte den Imaginärteil.

Kartesische Form und Polarform

Derselbe Punkt ist durch seinen Abstand r vom Ursprung und den Winkel θ zur waagerechten Achse bestimmt. r heißt Betrag, θ Argument.

r = √(a² + b²) und θ = atan2(b, a)

a = r · cos θ und b = r · sin θ

Exponentialform: z = r · e^(iθ)

Für z = 3 + 4i gilt r = √(9 + 16) = 5 und θ = arctan(4/3) = 53,13°. Dieselbe Umrechnung liefert Polarkoordinaten für einen ebenen Punkt (x, y).

Grundrechenarten

Addition und Subtraktion erfolgen getrennt nach Realteil und Imaginärteil. Bei der Multiplikation wird ausmultipliziert und i² durch −1 ersetzt: (−1 + 3i)(2 − 5i) = 13 + 11i. Zur Division wird mit dem konjugiert komplexen Nenner erweitert: (−1 + 3i) / (2 + 5i) = (13 + 11i) / 29.

Potenzen und Wurzeln

Nach der Formel von Moivre hat zⁿ den Betrag rⁿ und das Argument nθ. Bei (1 + i)⁸ gilt r = √2 und θ = 45°: (√2)⁸ = 16 und 8 · 45° = 360°. Das Ergebnis ist 16. Jede Zahl ungleich null hat n gleichmäßig auf einem Kreis verteilte Wurzeln mit Index n. Die Kubikwurzeln von 8 sind 2, −1 + √3 · i und −1 − √3 · i.

Zahl eingeben

1/2i wird als (1/2)·i gelesen. Für 1/(2i) sind Klammern nötig. Im Gradmodus gilt auch pi als Gradwert. Für π/3 Radiant wählen Sie Bogenmaß.

Ausdrücke wie 3 + 4i, −2i oder (1 + i)^8 sowie √3/2 und pi/3 sind zulässig. In Polarform werden Betrag und Winkel getrennt eingegeben und Grad oder Bogenmaß gewählt.

Grenzen

Das Argument erscheint als Hauptwert zwischen −180° und 180°. Ergebnisse sind dezimal. Exakte Wurzelausdrücke wie √3/2 werden nicht ausgegeben. Komplexe Exponentialfunktionen, Logarithmen und trigonometrische Funktionen sind nicht enthalten.

Häufige Fragen

Wie wandelt man komplexe Zahlen von Polarform in kartesische Form um?

Eine komplexe Zahl mit Betrag 2 und Winkel 60° hat beispielsweise die kartesische Form 1 + 1,732050808i. Der Realteil folgt aus dem Kosinus, der Imaginärteil aus dem Sinus. Das Beispiel verwendet Grad. Ein Winkel im Bogenmaß darf nicht als dieselbe Zahl eingegeben werden. Ergebnisse sind dezimal. Allgemeine komplexe Exponentialfunktionen oder Logarithmen werden dabei nicht ausgewertet.

Mit diesen Werten berechnen