Calculadora de números complejos y conversión polar

¿Qué es un número complejo?

Un número complejo se escribe z = a + bi. Aquí a es la parte real, b la parte imaginaria e i la unidad imaginaria, cuyo cuadrado es −1. Puedes representar un número complejo como un punto en el plano: el eje horizontal muestra la parte real y el vertical, la parte imaginaria.

Formas binómica y polar

El mismo punto puede expresarse mediante su distancia al origen y el ángulo que forma con el eje horizontal. La distancia es el módulo (r) y el ángulo es el argumento (θ).

• r = √(a² + b²) y θ = atan2(b, a)
• a = r · cos θ y b = r · sin θ
• Forma exponencial: z = r · e^(iθ)

Ejemplo: para z = 3 + 4i, r = √(9 + 16) = 5 y θ = arctan(4/3) = 53,13°. La misma conversión transforma un punto (x, y) del plano en coordenadas polares.

Las cuatro operaciones

La suma y la resta operan por separado sobre las partes reales e imaginarias. Para multiplicar, desarrolla los paréntesis y sustituye i² por −1: (−1 + 3i)(2 − 5i) = 13 + 11i. Para dividir, multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador: (−1 + 3i) / (2 + 5i) = (13 + 11i) / 29.

Potencias y raíces

Por la fórmula de De Moivre, zⁿ tiene módulo rⁿ y ángulo nθ. Para (1 + i)⁸, toma r = √2 y θ = 45°: (√2)⁸ = 16 y 8 · 45° = 360°, por lo que el resultado es 16. Todo número distinto de cero tiene n raíces de orden n, distribuidas uniformemente en una circunferencia. Las raíces cúbicas de 8 son 2, −1 + √3 · i y −1 − √3 · i.

Cómo escribir un número

1/2i se interpreta como (1/2)·i. Usa paréntesis para 1/(2i). En modo de grados, pi también se interpreta en grados. Elige radianes para π/3 radianes.

Puedes escribir expresiones como 3 + 4i, −2i o (1 + i)^8. También se admiten valores como √3/2 y pi/3. En la entrada polar, introduce el módulo y el ángulo por separado y elige grados o radianes.

Límites

El argumento se da como valor principal entre −180° y 180°. Los resultados se muestran como decimales y no se generan formas exactas con radicales como √3/2. Los valores complejos de funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas quedan fuera del alcance de esta herramienta.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se convierten números complejos de forma polar a binómica?

Un número complejo con módulo 2 y ángulo 60° tiene forma binómica 1 + 1,732050808i, usando el coseno para su parte real y el seno para su parte imaginaria. Este ejemplo usa grados, por lo que un ángulo en radianes no puede introducirse con el mismo número. Los resultados son decimales y esta conversión no evalúa funciones exponenciales o logarítmicas complejas generales.

Calcular con estos valores