Calculateur de nombres complexes et de forme polaire

Que désigne un nombre complexe ?

Un nombre complexe s’écrit z = a + bi. a est sa partie réelle, b sa partie imaginaire et i l’unité imaginaire dont le carré vaut −1. Un complexe peut être représenté par un point du plan : l’axe horizontal porte la partie réelle et l’axe vertical la partie imaginaire.

Formes algébrique et polaire

Le même point peut être décrit par sa distance à l’origine et son angle avec l’axe horizontal. La distance est le module r et l’angle est l’argument θ.

r = √(a² + b²) et θ = atan2(b, a).

a = r · cos θ et b = r · sin θ.

Forme exponentielle : z = r · e^(iθ).

Exemple : pour z = 3 + 4i, r = √(9 + 16) = 5 et θ = arctan(4/3) = 53,13°. La même conversion transforme un point (x, y) en coordonnées polaires.

Les quatre opérations

L’addition et la soustraction traitent séparément les parties réelles et imaginaires. Pour multiplier, développez et remplacez i² par −1 : (−1 + 3i)(2 − 5i) = 13 + 11i. Pour diviser, multipliez numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : (−1 + 3i) / (2 + 5i) = (13 + 11i) / 29.

Puissances et racines

D’après la formule de Moivre, zⁿ a pour module rⁿ et pour angle nθ. Pour (1 + i)⁸, prenez r = √2 et θ = 45° : (√2)⁸ = 16 et 8 · 45° = 360°, le résultat vaut donc 16. Tout nombre non nul possède n racines d’ordre n, régulièrement réparties sur un cercle. Les racines cubiques de 8 sont 2, −1 + √3 · i et −1 − √3 · i.

Saisir un nombre

1/2i est lu comme (1/2)·i. Utilisez des parenthèses pour 1/(2i). En mode degrés, pi est aussi interprété en degrés. Choisissez les radians pour π/3 radians.

Vous pouvez saisir 3 + 4i, −2i ou (1 + i)^8. Des valeurs comme √3/2 et pi/3 sont aussi reconnues. En saisie polaire, renseignez séparément le module et l’angle, puis choisissez degrés ou radians.

Limites

L’argument est la valeur principale entre −180° et 180°. Les résultats sont décimaux, sans forme exacte avec radicaux comme √3/2. Les valeurs complexes des fonctions exponentielle, logarithmique et trigonométriques ne sont pas couvertes.

Questions fréquentes

Comment convertir un complexe de la forme polaire à la forme algébrique ?

Un complexe de module 2 et d’angle 60° a pour forme algébrique 1 + 1,732050808i. Le cosinus donne sa partie réelle et le sinus sa partie imaginaire. Cet exemple utilise les degrés : un angle en radians ne se saisit pas avec la même valeur numérique. Les résultats sont décimaux et cette conversion n’évalue pas les fonctions exponentielles ou logarithmiques complexes générales.

Calculer avec ces valeurs