Karmaşık Sayı Hesaplama ve Kutupsal Dönüşüm

Karmaşık sayı nedir?

Karmaşık sayı z = a + bi biçiminde yazılır. a gerçel kısım, b sanal kısım, i ise karesi −1 olan sanal birimdir. Karmaşık sayılar düzlemde birer nokta gibi düşünülür: yatay eksen gerçel kısmı, düşey eksen sanal kısmı gösterir.

Kartezyen ve kutupsal biçim

Aynı nokta başlangıca uzaklığı ve yatay eksenle yaptığı açıyla da verilebilir. Uzaklığa modül (r), açıya argüman (θ) denir.

• r = √(a² + b²) ve θ = atan2(b, a)
• a = r · cos θ ve b = r · sin θ
• Üstel biçim: z = r · e^(iθ)

Örnek: z = 3 + 4i için r = √(9 + 16) = 5 ve θ = arctan(4/3) = 53.13° olur. Aynı dönüşüm düzlemdeki bir (x, y) noktasını kutupsal koordinatlara çevirmek için de kullanılır.

Dört işlem

Toplama ve çıkarmada gerçel ve sanal kısımlar ayrı ayrı işlem görür. Çarpmada parantezler dağıtılır ve i² yerine −1 yazılır: (−1 + 3i)(2 − 5i) = 13 + 11i. Bölmede pay ve payda, paydanın eşleniğiyle çarpılır: (−1 + 3i) / (2 + 5i) = (13 + 11i) / 29.

Kuvvet ve kökler

De Moivre formülüne göre zⁿ sayısının modülü rⁿ, açısı nθ olur. (1 + i)⁸ için r = √2 ve θ = 45° alınır: (√2)⁸ = 16 ve 8 · 45° = 360°, sonuç 16 çıkar. Sıfırdan farklı her sayının n tane n. kökü vardır ve bu kökler bir çember üzerine eşit aralıklarla dizilir. 8'in küp kökleri 2, −1 + √3 · i ve −1 − √3 · i olur.

Nasıl yazılır?

Sayıyı 3 + 4i, −2i ya da (1 + i)^8 gibi ifadelerle yazabilirsiniz. √3/2 ve pi/3 gibi değerler de okunur. Kutupsal girişte modülü ve açıyı ayrı ayrı girersiniz, açı birimi derece ya da radyan seçilir.

Sınırlar

Argüman −180° ile 180° arasındaki esas değerle verilir. Sonuçlar ondalık gösterilir, köklü tam biçimler (√3/2 gibi) üretilmez. Üstel, logaritma ve trigonometrik işlevlerin karmaşık değerleri bu aracın kapsamında değildir.