Calculadora de números complexos e conversão polar

O que é um número complexo?

Um número complexo é escrito z = a + bi. Aqui, a é a parte real, b é a parte imaginária e i é a unidade imaginária cujo quadrado é −1. Você pode representar um número complexo como um ponto no plano: o eixo horizontal mostra a parte real e o vertical, a parte imaginária.

Forma retangular e polar

O mesmo ponto pode ser dado pela distância à origem e pelo ângulo com o eixo horizontal. A distância é o módulo (r) e o ângulo é o argumento (θ).

r = √(a² + b²) e θ = atan2(b, a) a = r · cos θ e b = r · sin θ Forma exponencial: z = r · e^(iθ)

Exemplo: para z = 3 + 4i, r = √(9 + 16) = 5 e θ = arctan(4/3) = 53,13°. A mesma conversão transforma um ponto (x, y) do plano em coordenadas polares.

As quatro operações

Adição e subtração operam separadamente nas partes real e imaginária. Para multiplicar, expanda os parênteses e substitua i² por −1: (−1 + 3i)(2 − 5i) = 13 + 11i. Para dividir, multiplique numerador e denominador pelo conjugado do denominador: (−1 + 3i) / (2 + 5i) = (13 + 11i) / 29.

Potências e raízes

Pela fórmula de De Moivre, zⁿ tem módulo rⁿ e ângulo nθ. Para (1 + i)⁸, use r = √2 e θ = 45°: (√2)⁸ = 16 e 8 · 45° = 360°, portanto o resultado é 16. Todo número diferente de zero tem n raízes de índice n, igualmente espaçadas em um círculo. As raízes cúbicas de 8 são 2, −1 + √3 · i e −1 − √3 · i.

Como digitar um número

1/2i é interpretado como (1/2)·i. Use parênteses para 1/(2i). No modo graus, pi também é interpretado em graus. Selecione radianos para π/3 radianos.

Você pode digitar expressões como 3 + 4i, −2i ou (1 + i)^8. Valores como √3/2 e pi/3 também são aceitos. Na entrada polar, insira módulo e ângulo separadamente e escolha graus ou radianos.

Limites

O argumento é o valor principal entre −180° e 180°. Os resultados aparecem em decimais, sem formas exatas com radicais como √3/2. Valores complexos de funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas estão fora do escopo.

Perguntas frequentes

Como converter números complexos polares para a forma retangular?

Um número complexo com módulo 2 e ângulo 60° tem forma retangular 1 + 1,732050808i, usando cosseno para a parte real e seno para a imaginária. Este exemplo usa graus. Um ângulo em radianos não pode ser inserido com o mesmo número. Os resultados são decimais, e a conversão não calcula funções complexas exponenciais ou logarítmicas gerais.

Calcular com estes valores