Integralrechner

Was berechnet der Integralrechner?

Bei bestimmten Integralen berechnet er numerisch die vorzeichenbehaftete Fläche zwischen unterer und oberer Grenze und nennt eine Fehlerschätzung. Bei unbestimmten Integralen sucht er symbolisch eine Stammfunktion. Gefundene Stammfunktionen erscheinen als Formel. Andernfalls meldet das Werkzeug, dass keine gefunden wurde.

Numerisches Verfahren

Die adaptive Simpsonquadratur zerlegt das Intervall in Abschnitte. Je Abschnitt werden zwei Verfeinerungsstufen verglichen und der Abschnitt halbiert, bis die Differenz unter der Zielgenauigkeit liegt. Die Simpsonregel lautet (b − a)/6 · (f(a) + 4·f((a + b)/2) + f(b)). Zusätzlich wird unabhängig eine Gaußquadratur nach Legendre mit 15 Punkten berechnet und verglichen. Bei undefinierten Randwerten oder unendlichen Grenzen verwendet das Werkzeug diese Regel, die keine Randpunkte auswertet. Grenzen dürfen Zahlen, Ausdrücke wie pi/2 oder inf für unendlich sein.

Unterstützte unbestimmte Integrale

Polynome, Potenzen und 1/x

sin, cos, tan, Exponentialfunktionen, ln und inverse trigonometrische Funktionen mit linearem Argument, etwa sin(2x + 1)

Polynome mal Exponentialfunktion, Sinus, Kosinus oder ln, etwa x·eˣ, x²·cos x und x·ln x durch partielle Integration

Ausdrücke f(g(x))·g′(x), etwa 2x·e^(x²), x/(x² + 1) und sin x·cos x durch Substitution

Lineare Substitution bei x·√(x + 1) und x/(x + 1)

Quadratische Nenner wie 1/(x² + 4) und 1/√(1 − x²)

Ergebnisprüfung

Jede gefundene Stammfunktion wird abgeleitet und an vielen Stellen mit dem Integranden verglichen. Nicht bestandene Kandidaten erscheinen nicht. Bei bekanntem F wird neben dem numerischen Integral auch F(b) − F(a) gezeigt.

Beispiel

Integrieren Sie x^2 von 0 bis 3. Die Stammfunktion lautet x³/3. Oben ergibt sich 27/3 = 9, unten 0. Das Integral ist 9. Numerisch ergibt sich derselbe Wert.

Grenzen

Der symbolische Teil ist kein vollständiges Computeralgebrasystem. Partialbruchzerlegung, trigonometrische Substitution und zyklische partielle Integration wie bei eˣ·sin x fehlen. Für e^(−x²) und sin(x)/x existiert keine elementare Stammfunktion. Bei undefinierten Stellen im Inneren, etwa 1/x zwischen −1 und 1, gibt es kein Ergebnis. Teilen Sie dort in zwei uneigentliche Integrale. Divergenz, schnelle Schwingungen oder schwierige Intervalle können das Genauigkeitsziel verhindern. Fehlende Konvergenz allein beweist keine Divergenz. Winkel sind im Bogenmaß.