Calculadora de integrais

O que faz a calculadora de integrais?

Ela realiza duas tarefas. Para uma integral definida, calcula numericamente a área com sinal sob a curva entre os limites inferior e superior e informa uma estimativa de erro. Para uma integral indefinida, tenta encontrar a primitiva simbolicamente. Se encontrar, mostra uma fórmula. Caso contrário, informa isso sem adivinhar.

Como a integral definida é calculada?

O método é a quadratura adaptativa de Simpson: o intervalo é dividido em painéis, a regra de Simpson é aplicada em cada um com dois níveis de refinamento, e o painel é dividido ao meio até a diferença ficar abaixo da precisão desejada. Em um painel, a regra é (b − a)/6 · (f(a) + 4·f((a + b)/2) + f(b)). O resultado também é calculado independentemente com uma regra de Gauss e Legendre de 15 pontos, e ambos são comparados. Para integrandos indefinidos em um extremo ou com limites infinitos, a calculadora usa a regra de Gauss e Legendre, que não calcula os extremos. Um limite pode ser número, expressão como pi/2 ou inf para infinito.

Quais integrais indefinidas podem ser resolvidas?

• Polinômios e potências, 1/x
• sin, cos, tan, exponenciais, ln e funções trigonométricas inversas com argumento linear: sin(2x + 1)
• Polinômio multiplicado por exponencial, seno, cosseno ou ln: x·eˣ, x²·cos x, x·ln x (integração por partes)
• Forma f(g(x))·g′(x): 2x·e^(x²), x/(x² + 1), sin x·cos x (substituição)
• Substituição linear: x·√(x + 1), x/(x + 1)
• Denominadores quadráticos: 1/(x² + 4), 1/√(1 − x²)

Como verificar o resultado?

Cada primitiva encontrada é derivada e comparada ao integrando em vários pontos. Candidatas que falham na verificação não são exibidas. Para uma integral definida com primitiva conhecida, o valor F(b) − F(a) aparece ao lado do resultado numérico.

Exemplo

Integre x^2 de 0 a 3. A primitiva é x³/3. No limite superior, fornece 27/3 = 9, e no inferior, 0. Portanto a integral é 9. O método numérico retorna o mesmo valor.

Limites

A parte simbólica não é um sistema de álgebra computacional: não faz frações parciais, substituição trigonométrica nem integração por partes cíclica (como eˣ·sin x). Nesses casos, informa que nada foi encontrado. Funções como e^(−x²) e sin(x)/x não têm primitiva em funções elementares. Se o integrando for indefinido dentro do intervalo (como 1/x entre −1 e 1), não há resultado: divida a integral nesse ponto e calcule duas integrais impróprias. O método numérico pode não atingir a precisão desejada por divergência, oscilação rápida ou intervalo difícil. A falta de convergência, isoladamente, não prova que a integral diverge. Os ângulos estão em radianos.